Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty n!x^n1 cdot 3 cdot 5 cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty n!,x^n1cdot3cdots(2n-1). O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio de convergência.

Passo 2

Aplicando o teste da razão definimos o termo geral tn=dfracn!,x^n(2n-1)!!. Calculamos
|tn+1||tn| =(n+1)!(2n+1)!!;(2n-1)!!n!;|x| =n+12n+1;|x|
Como limntoinftyn+12n+1=tfrac12, o limite do quociente é tfrac|x|2.

Passo 3

Pelo teste da razão, a série converge se tfrac|x|2<1, ou seja |x|<2. Daí o raio de convergência é R=2.

Passo 4

Nos extremos x=2 e x=-2 o termo geral fica
tn=n!(2n-1)!!(pm2)^n
Usando a identidade
(2n-1)!!=(2n)!2^n,n!
obtemos
tn=2^n(n!)^2(2n)!(pm2)^n =4^nbinom2nn
Como binom2nnsim4^nraizpi n, segue tnsimraizpi n, que não tende a zero. Logo a série diverge em x=2 e x=-2.

Resposta

O raio de convergência é R=2 e o intervalo de convergência é (-2,2).

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