Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=4^infty ln nn x^n

Passo 1

A série dada é sumn=4^inftyln nnx^n Isso é uma série de potências centrada em 0; queremos o raio de convergência R e, em seguida, testar os extremos |x|=1.

Passo 2

Vamos usar o teste da razão para achar R.
Aplicando o teste da razão, examinamos o limite L=limntoinfty|an+1x^n+1anx^n| =limntoinftyln(n+1)n+1ln nn,|x| =limntoinftynln(n+1)(n+1)ln n,|x| =|x| Para convergência, precisamos de L<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.

Passo 3

Agora testamos as bordas: Em x=1 a série fica sumn=4^inftyln nn, que diverge pois, por comparação com a integral, $$
\int^\infty\frac{\ln x}{x},dx=\frac{(\ln x)2}{2}\bigg|\infty=\infty.
$$

Passo 4

Em x=-1 a série vira sumn=4^infty(-1)^nln nn, é alternante, com termos bn=ln nn que decrescem a partir de certo n e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, converge.
Portanto, o intervalo de convergência inclui x=-1 e exclui x=1.

Resposta

R = 1 e o intervalo de convergência é [-1,1).

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