Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
A série dada é
Isso é uma série de potências centrada em 0; queremos o raio de convergência R e, em seguida, testar os extremos |x|=1.
Passo 2
Vamos usar o teste da razão para achar R.
Aplicando o teste da razão, examinamos o limite
Para convergência, precisamos de L<1, ou seja |x|<1. Logo o raio de convergência é R=1.
Passo 3
Agora testamos as bordas: Em x=1 a série fica
sumn=4^inftyln nn, que diverge pois, por comparação com a integral, $$
\int^\infty\frac{\ln x}{x},dx=\frac{(\ln x)2}{2}\bigg|\infty=\infty.
$$
Passo 4
Em x=-1 a série vira
sumn=4^infty(-1)^nln nn, é alternante, com termos
bn=ln nn que decrescem a partir de certo n e tendem a zero. Pelo critério de Leibniz, converge.
Portanto, o intervalo de convergência inclui x=-1 e exclui x=1.
Resposta
R = 1 e o intervalo de convergência é [-1,1).