Calcule a integral
integral x-12(x^2-4 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional. O conteúdo envolve integração por frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e decompor a função em termos mais simples para integrar.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador:
x^2-4x = x(x-4)

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
x-12x(x-4) = Ax + Bx-4
e multiplicamos ambos os lados por x(x-4) para encontrar A e B:
x-12 = A(x-4) + Bx

Passo 4

Comparamos coeficientes em x-12 = (A+B)x - 4A:
  • O termo independente dá -4A = -12, logo A = 3.
  • O coeficiente de x A + B = 1, logo B = 1 - 3 = -2.

Passo 5

Substituímos A e B na integral e separamos em duas integrais simples:
integral x-12x(x-4),dx = integral gl(3x - 2x-4gr)dx
Então
integral 3x,dx = 3ln|x| + C1,
integral 2x-4,dx = 2ln|x-4| + C2

Passo 6

Juntando as duas integrais e incorporando as constantes em uma só constante C, obtemos:
3ln|x| - 2ln|x-4| + C

Resposta

3 \ln|x| - 2 \ln|x-4| + C

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