Se f for contínua em [a, b], então o comprimento da curva y=f(x), com a <= x <= b, é dado por:
L=integrala^b raiz1+[f^prime(x)]^2 d x
Calcule o comprimento do arco de parábola semicúbica y^2=x^3 entre os pontos (1,1) e (4,8).

Passo 1

A ideia é usar a fórmula do comprimento de arco para uma função contínua e diferenciável. No enunciado temos a curva dada implicitamente por y^2 = x^3 e queremos o comprimento entre os pontos (1,1) e (4,8). Como a curva está acima do eixo x, podemos escrever y = f(x) = x^3/2 e aplicar
L = integrala^b raiz1 + [f'(x)]^2,dx

Passo 2

Primeiro precisamos da derivada de y = x^3/2. Aplicando a regra do expoente, obtemos
f'(x) = 32x^1/2

Passo 3

Substituímos f'(x) na integral do comprimento de arco:
L = integral1^4 raiz1 + l(tfrac32x^1/2r)^2,dx = integral1^4 raiz1 + 94x,dx
Para simplificar, note que
1 + 94x = 9x + 44,
então
$$\sqrt{1 + \tfrac{9}{4}x} = \frac{\sqrt{9x + 4}}{2}.
raiz1 + tfrac94x = raiz9x + 42 L = \frac{1}{2}\int_{1}^{4} \sqrt{9x+4},dx.$$

Passo 4

Agora fazemos a substituição
u = 9x + 4, du = 9,dx,
com limites quando x=1 temos u=13, e quando x=4 temos u=40. Assim,
$$L = \frac{1}{2} \int_{u=13}^{40} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{9} = \frac{1}{18}\int_{13}^{40} u^{1/2},du.
L = 12 integralu=13^40 raizucdotdu9 = 118integral13^40 u^1/2,du \int u^{1/2},du = \frac{2}{3}u^{3/2},$$
então
$$L = \frac{1}{18}\cdot \frac{2}{3} \Bigl[u{3/2}\Bigr]_{13}{40} = \frac{1}{27}\bigl(40^{3/2} - 13^{3/2}\bigr).
$$

Passo 5

Bastou agora expressar em termos de raízes:
40^3/2 = (raiz40)^3 = (2raiz10)^3 = 80raiz10,
13^3/2 = (raiz13)^3 = 13raiz13,
logo o comprimento final é
$$L = \frac{1}{27}\bigl(80\sqrt{10} - 13\sqrt{13}\bigr).
$$

Resposta

127l(80raiz10 - 13raiz13r)

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