Se
for contínua em
, então o comprimento da curva
, com
, é dado por:
Calcule o comprimento do arco de parábola semicúbica
entre os pontos
e
.
Passo 1
A ideia é usar a fórmula do comprimento de arco para uma função contínua e diferenciável. No enunciado temos a curva dada implicitamente por
e queremos o comprimento entre os pontos
e
. Como a curva está acima do eixo
, podemos escrever
e aplicar
Passo 2
Primeiro precisamos da derivada de
. Aplicando a regra do expoente, obtemos
Passo 3
Substituímos
na integral do comprimento de arco:
Para simplificar, note que
então
$$\sqrt{1 + \tfrac{9}{4}x} = \frac{\sqrt{9x + 4}}{2}.
Passo 4
Agora fazemos a substituição
com limites quando
$$L = \frac{1}{2} \int_{u=13}^{40} \sqrt{u}\cdot\frac{du}{9} = \frac{1}{18}\int_{13}^{40} u^{1/2},du.
então
$$L = \frac{1}{18}\cdot \frac{2}{3} \Bigl[u{3/2}\Bigr]_{13}{40} = \frac{1}{27}\bigl(40^{3/2} - 13^{3/2}\bigr).
$$
Passo 5
Bastou agora expressar em termos de raízes:
logo o comprimento final é
$$L = \frac{1}{27}\bigl(80\sqrt{10} - 13\sqrt{13}\bigr).
$$