Determine se cada integral é convergente ou divergente.
integral1^infty 1x^2+4 d x

Passo 1

A questão pede para analisar se a integral imprópria integral1^infty1x^2+4,dx é convergente ou divergente. O conteúdo envolvido é o de integrais impróprias com limite infinito e a primitiva de funções do tipo 1/(x^2+a^2).

Passo 2

Para tratar a porção infinita, reescrevemos a integral como um limite:
limbtoinftyintegral1^b1x^2+4,dx

Passo 3

e usamos a fórmula de primitiva
integral1x^2+a^2,dx=1aarctanl(xar)+C,
tomando a=2.
Calculamos a primitiva específica:
integral1x^2+4,dx=12arctanl(x2r)+C

Passo 4

Substituindo nos limites e aplicando o limite em b:
limbtoinftyl[tfrac12arctanl(tfracb2r)-tfrac12arctanl(tfrac12r)r]

Passo 5

Como limbtoinftyarctan(tfracb2)=tfracpi2, o valor da integral fica
12l(pi2-arctanl(tfrac12r)r),

Passo 6

que é finito. Portanto a integral converge.

Resposta

A integral é convergente.

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