Calcule a integral.
integral 5 x-12x(x-4) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 5x-12x(x-4),dx. O conteúdo envolve integração de funções racionais e vamos precisar usar decomposição em frações parciais e conhecer as integrais básicas integral dxx.

Passo 2

Para decompor a fração, a gente assume que
5x-12x(x-4) = Ax + Bx-4
e, em seguida, escreve o mesmo denominador para comparar numeradores:
5x - 12 = A(x-4) + Bx

Passo 3

Agora a gente resolve para A e B. Expande o lado direito:
A(x-4)+Bx = (A+B)x - 4A
Como tem de dar 5x-12, igualamos coeficientes:
A + B = 5,
-4A = -12

Passo 4

Da segunda equação vem A = 3, e daí B = 5 - A = 2. Então a integral vira
integral (3x + 2x-4) dx = 3integral dxx + 2integral dxx-4

Passo 5

Agora é só usar integral dxx = ln|x| + C e, analogamente, integral dxx-4 = ln|x-4| + C.

Resposta

3\ln|x| + 2\ln|x-4| + C

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