determine whether the given differential equation is exact. If it is exact, solve it.
(x-y^3+y^2 sin x) d x=(3 x y^2+2 y cos x) d y

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação diferencial (x-y^3+y^2sin x),dx=(3xy^2+2ycos x),dy. O conteúdo da matéria é equações diferenciais exatas e vamos usar a condição de exatidão partial Mpartial y=partial Npartial x.

Passo 2

Colocando na forma padrão M(x,y),dx+N(x,y),dy=0 obtemos:
M(x,y)=x-y^3+y^2sin x, N(x,y)=-l(3xy^2+2ycos xr)
Calculamos então:
partial Mpartial y=-3y^2+2ysin x, partial Npartial x=-3y^2+2ysin x
Como essas derivadas coincidem, concluímos que a equação é exata.

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função potencial psi(x,y) tal que partial psipartial x=M(x,y). Integramos M em relação a x:
psi(x,y)=integrall(x-y^3+y^2sin xr),dx=x^22-xy^3-y^2cos x+h(y)

Passo 4

Para determinar h(y), derivamos psi em relação a y e igualamos a N(x,y):
partial psipartial y=-3xy^2-2ycos x+h'(y)=N(x,y)=-3xy^2-2ycos x
Daí h'(y)=0, logo h(y)=C.

Passo 5

A solução geral implícita fica:
x^22-xy^3-y^2cos x=C

Resposta

x^22-xy^3-y^2cos x=C

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