Considere a equação diferencial:
Calcule o Wronskiano de
e
.
Calcule o Wronskiano de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o Wronskiano de duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ da equação diferencial $ t^{2} y’’ - 3 y = 0 $. A gente vai precisar mexer com equações diferenciais de segunda ordem e entender um pouco sobre o Wronskiano, que é como se fosse uma ferramenta para verificar se duas soluções são linearmente independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar as soluções $ y_1 $ e $ y_2 $. A equação dada é:
Essa é uma equação de Euler, onde a gente assume soluções do tipo $ y = t^{r} $. Vamos substituir essa forma na equação:
Simplificando:
Para que a equação seja válida para todo $ t $, o que está dentro dos colchetes deve ser zero:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
Então, as duas soluções são:
Passo 4
Com as soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ em mãos, vamos calcular o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é dado por:
Vamos calcular as derivadas:
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
Simplificando os expoentes:
Resposta
O Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é $ W(y_{1}, y_{2}) = -\sqrt{13} $.