Considere a equação diferencial:
t^2 y^prime prime-3 y=0
Calcule o Wronskiano de y1 e y2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente calcular o Wronskiano de duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ da equação diferencial $ t^{2} y’’ - 3 y = 0 $. A gente vai precisar mexer com equações diferenciais de segunda ordem e entender um pouco sobre o Wronskiano, que é como se fosse uma ferramenta para verificar se duas soluções são linearmente independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial para encontrar as soluções $ y_1 $ e $ y_2 $. A equação dada é:
y1
Essa é uma equação de Euler, onde a gente assume soluções do tipo $ y = t^{r} $. Vamos substituir essa forma na equação:
y2
Simplificando:
t^2 y'' - 3 y = 0
y = t^r
Para que a equação seja válida para todo $ t $, o que está dentro dos colchetes deve ser zero:
t^2 cdot (r(r-1) t^r-2) - 3 t^r = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Então, as duas soluções são:
r = 1 pm raiz1 + 122 = 1 pm raiz132

Passo 4

Com as soluções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ em mãos, vamos calcular o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é dado por:
y1
Vamos calcular as derivadas:
y2
y1
Substituindo na fórmula do Wronskiano:
y2
Simplificando os expoentes:
W(y1, y2) = y1 y2' - y2 y1'
y1' = 1 + raiz132 cdot t^-1 + raiz132
y2' = 1 - raiz132 cdot t^-1 - raiz132
W(y1, y2) = t^1 + raiz132 cdot 1 - raiz132 cdot t^-1 - raiz132 - t^1 - raiz132 cdot 1 + raiz132 cdot t^-1 + raiz132

Resposta

O Wronskiano de $ y_{1} $ e $ y_{2} $ é $ W(y_{1}, y_{2}) = -\sqrt{13} $.

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