Calcule a integral.
integral 4 x^2-5 x-15x^3-4 x^2-5 x d x

Passo 1

Este exercício pede para calcular a integral de uma função racional. O conteúdo é integração de funções racionais usando decomposição em frações parciais, e vamos precisar fatorar o denominador e aplicar a técnica de frações parciais antes de integrar.

Passo 2

Começamos fatorando o denominador. Observamos que
x^3 - 4x^2 - 5x = x,(x^2 - 4x - 5) = x,(x-5),(x+1)

Passo 3

Montamos a decomposição em frações parciais: para
4x^2 - 5x - 15x,(x-5),(x+1) = Ax + Bx-5 + Cx+1,
igualamos numeradores:
4x^2 - 5x - 15 = A(x-5)(x+1) + Bx(x+1) + Cx(x-5)
Expandindo e comparando coeficientes chegamos a um sistema:
A + B + C = 4, -4A + B - 5C = -5, -5A = -15
Da última equação vem A=3. Substituindo nas duas primeiras, obtemos B=2 e C=-1.

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
[
\int\frac{4x^2 - 5x - 15}{x(x-5)(x+1)},dx
= \int\Bigl(\frac{3}{x} + \frac{2}{x-5} - \frac{1}{x+1}\Bigr)dx
= 3\ln|x| + 2\ln|x-5| - \ln|x+1| + C.

Resposta

3\ln|x| + 2\ln|x-5| - \ln|x+1| + C

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