Calcule a integral.
integral 5 x^2+30 x+43(x+3)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 5x^2+30x+43(x+3)^3,dx. O conteúdo principal aqui é a integração de função racional através de substituição linear e propriedades de potências.

Passo 2

Fazemos a substituição u = x + 3, o que implica x = u - 3 e dx = du. Então, o numerador vira
5(x)^2 + 30x + 43 = 5(u-3)^2 + 30(u-3) + 43 = 5u^2 - 2
e o denominador é (x+3)^3 = u^3. Assim o integrando se transforma em
5u^2 - 2u^3 = 5u^2u^3 - 2u^3 = 5u^-1 - 2u^-3

Passo 3

Agora integramos termo a termo usando integral u^n,du = u^n+1n+1 (para nneq -1) e integral u^-1,du = ln|u|. Então:
integrall(5u^-1 - 2u^-3r)du = 5integral u^-1du - 2integral u^-3du = 5ln|u| + u^-2 + C

Passo 4

Por fim, voltamos à variável original x usando u = x+3. O resultado é:
5ln|x+3| + 1(x+3)^2 + C

Resposta

5\ln|x+3| + \frac{1}{(x+3)^2} + C

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