Calcule a integral.
integral 4 x(x^2+1)^3 d x

Passo 1

Nesta questão, precisamos calcular a integral indefinida integral 4x(x^2+1)^3,dx. O conteúdo principal é o método de substituição em integrais, já que o denominador é uma função composta e seu derivado aparece no numerador.

Passo 2

Observamos que a derivada de x^2+1 em relação a x é 2x, e nosso numerador é 4x. Isso sugere a substituição
Definimos
nu = x^2 + 1,
logo
$$
du = 2x,dx \quade portanto\quad 4x,dx = 2,du.
$$

Passo 3

Aplicando essa substituição, a integral original se transforma em
integral 4x(x^2+1)^3,dx = 2 integral u^-3,du

Passo 4

Para integrar integral u^-3,du, usamos a fórmula de potência
integral u^n,du = u^n+1n+1 (nneq -1)
Aqui n=-3, então
integral u^-3,du = u^-2-2
Multiplicando por 2, obtemos
-,u^-2 + C

Passo 5

Voltando à variável x, basta substituir u = x^2+1:
-,u^-2 + C = -1(x^2+1)^2 + C

Resposta

-\frac{1}{(x2+1)2} + C

Exercícios relacionados