Calcule a integral.
integral 2 x^2+7 xx^2+6 x+9 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 2x^2+7xx^2+6x+9,dx. O conteúdo aqui é integração de função racional, e vamos precisar usar divisão polinomial e decomposição em frações parciais.

Passo 2

Primeiro fazemos a divisão do polinômio 2x^2+7x pelo polinômio x^2+6x+9. O quociente é 2 e o resto é
2x^2+7x - 2(x^2+6x+9) = -5x - 18

Passo 3

Isso nos permite reescrever o integrando como
2x^2+7xx^2+6x+9 = 2 + -5x-18(x+3)^2

Passo 4

Agora decompomos -5x-18(x+3)^2. Note que
-5x-18 = -5(x+3) - 3,
então
-5x-18(x+3)^2 = -5,1x+3 - 3,1(x+3)^2

Passo 5

Assim a integral vira
integral 2x^2+7xx^2+6x+9,dx = integral 2,dx -5integral 1x+3,dx -3integral 1(x+3)^2,dx

Passo 6

Integramos cada termo:
integral 2,dx = 2x
integral 1x+3,dx = lnl|x+3r|
– Para integral (x+3)^-2dx, usamos a regra de potência:
integral (x+3)^-2dx = (x+3)^-1-1 = -1x+3

Passo 7

Multiplicando pelo coeficiente -3, fica + 3/(x+3). Somando tudo e adicionando a constante de integração C, obtemos a antiderivada.

Resposta

2x - 5lnl|x+3r| + 3x+3 + C

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