Seja
f(x)=ll cos x, & x >= 0 a x+b, & x<0
Determine a e b de maneira que f seja diferenciável em x=0

Passo 1

Temos uma função definida por partes e queremos que ela seja diferenciável em x=0. Isso envolve dois requisitos: continuidade em x=0 e igualdade das derivadas laterais em x=0.

Passo 2

Para garantir continuidade em x=0, igualamos o valor à esquerda de 0 com o valor à direita de 0. À direita, f(0^+) = cos(0) = 1. À esquerda, f(0^-) = acdot0 + b = b. Logo, temos b = 1.

Passo 3

Para que f seja diferenciável em x=0, as derivadas laterais devem coincidir. À direita, f’(x)= - sin x, então f’(0^+) = - sin(0) = 0. À esquerda, f’(x)=a, logo f’(0^-) = a. Igualando, a = 0.

Resposta

a = 0 e b = 1

Exercícios relacionados