Ache a derivada das funçōes abaixo.
g(x)=x^2 cos ^3(4 x^2).

Passo 1

Temos a função g(x)=x^2cos^3(4x^2). O conteúdo é derivação de um produto e aplicação da regra da cadeia. Vamos usar a regra do produto e depois a regra da cadeia para encontrar g'(x).

Passo 2

Definimos u(x)=x^2 e v(x)=l(cos(4x^2)r)^3. Pela regra do produto:
g'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)
Calculamos u'(x)=2x.

Passo 3

Para derivar v(x)=l(cos(4x^2)r)^3 usamos a regra da cadeia em dois níveis. Primeiro, se h(t)=t^3 e t=cos(4x^2), então
ddx[h(t)] =3t^2cdot t' =3cos^2(4x^2)cdot ddx[cos(4x^2)]
Em seguida, para cos(4x^2) temos outra cadeia:
ddx[cos(4x^2)]=-sin(4x^2)cdot ddx[4x^2] =-sin(4x^2)cdot 8x =-8xsin(4x^2)
Combinando,
v'(x)=3cos^2(4x^2)cdot(-8xsin(4x^2)) =-24xcos^2(4x^2)sin(4x^2)

Passo 4

Substituímos u'(x), v(x) e v'(x) em g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x):
g'(x)=2xcos^3(4x^2)+x^2l(-24xcos^2(4x^2)sin(4x^2)r)
Agrupando e simplificando,
g'(x)=2xcos^3(4x^2)-24x^3cos^2(4x^2)sin(4x^2)

Resposta

g’(x)=2x\cos3(4x2)-24x3\cos2(4x2)\sin(4x2)

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