Encontre as áreas das regiões.
Interior a
e exterior a
.
Interior a
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer achar a área da região que é interna à curva polar
e externa ao círculo
. O conteúdo envolve coordenadas polares e a fórmula de área em polares para regiões limitadas por duas curvas.
Passo 2
Determinar onde a região existe e os limites de
: igualando as duas curvas,
dá
, logo
e
. Observamos que
só quando
, isto é, para
.
Passo 3
Aplicar a fórmula da área em coordenadas polares para a região entre duas curvas:
Aqui
$$A=\frac12\int_0\pi\bigl[(1+\sin\theta)2-1^2\bigr]d\theta
=\frac12\int_0\pi\bigl(2\sin\theta+\sin2\theta\bigr)d\theta.$$
Passo 4
Calcular os integrales separadamente:
Passo 5
Portanto a área é