Encontre as áreas das regiões.
Interior a r=1+sen theta e exterior a r=1.

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar a área da região que é interna à curva polar r=1+sintheta e externa ao círculo r=1. O conteúdo envolve coordenadas polares e a fórmula de área em polares para regiões limitadas por duas curvas.

Passo 2

Determinar onde a região existe e os limites de theta: igualando as duas curvas, 1+sintheta=1 sintheta=0, logo theta=0 e theta=pi. Observamos que 1+sintheta>=1 só quando sintheta>=0, isto é, para 0<=theta<=pi.

Passo 3

Aplicar a fórmula da área em coordenadas polares para a região entre duas curvas:
A=12integraltheta1^theta2l(rexterna^2-rinterna^2r),dtheta
Aqui rexterna=1+sintheta e rinterna=1, com theta1=0 e theta2=pi. Então
$$A=\frac12\int_0\pi\bigl[(1+\sin\theta)2-1^2\bigr]d\theta
=\frac12\int_0\pi\bigl(2\sin\theta+\sin2\theta\bigr)d\theta.$$

Passo 4

Calcular os integrales separadamente:
integral0^pi2sintheta,dtheta=4, integral0^pisin^2theta,dtheta=pi2

Passo 5

Portanto a área é
A=12l(4+pi2r)=2+pi4

Resposta

2+tfracpi4

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