Calcule a integral.
integral 5 x^2+11 x+17x^3+5 x^2+4 x+20 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral


e o conteúdo é integração de funções racionais. Vamos usar duas ideias principais: reconhecer parte do numerador como derivada do denominador e depois decompor o resto em frações parciais.

Passo 2

Observamos que o denominador
D(x)=x^3+5x^2+4x+20
tem derivada
D'(x)=3x^2+10x+4
Queremos escrever o numerador 5x^2+11x+17 na forma
A,D'(x)+(Bx+C)

Passo 3

Igualando coeficientes em
A(3x^2+10x+4)+(Bx+C)=5x^2+11x+17
obtemos o sistema
3A=5, 10A+B=11, 4A+C=17
Daí encontra-se
integral 5x^2+11x+17D(x),dx =53integral D'(x)D(x),dx+integral -tfrac173x+tfrac313D(x),dx
Assim a integral se separa em

Passo 4

Note que
D(x)=x^3+5x^2+4x+20=(x+5)(x^2+4)
Para a segunda parte fazemos frações parciais:
-tfrac173x+tfrac313(x+5)(x^2+4)=Ax+5+Bx+Cx^2+4
Igualando numeradores e resolvendo dá

Passo 5

Agora integraremos cada pedaço:
  1. 53integral D'(x)D(x),dx=53ln|D(x)|
  2. integral 4/3x+5,dx=43ln|x+5|
  3. integral -4/3,xx^2+4,dx=-43cdot12ln(x^2+4)=-23ln(x^2+4)
  4. integral 1x^2+4,dx=12arctan!l(tfrac x2r)
    Somando tudo e usando D(x)=(x+5)(x^2+4) para combinar logaritmos, obtemos a forma simplificada.

Passo 6

Ao combinar os logaritmos:
53ln|D(x)|+43ln|x+5|-23ln(x^2+4) =3ln|x+5|+ln(x^2+4)
Por fim, a integral é
3ln|x+5|+ln(x^2+4)+12arctan!l(tfrac x2r)+C

Resposta

3ln|x+5|+ln(x^2+4)+tfrac12arctan!l(tfrac x2r)+C

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