e o conteúdo é integração de funções racionais. Vamos usar duas ideias principais: reconhecer parte do numerador como derivada do denominador e depois decompor o resto em frações parciais.
Passo 2
Observamos que o denominador
tem derivada
Queremos escrever o numerador na forma
Passo 3
Igualando coeficientes em
obtemos o sistema
Daí encontra-se integral 5x^2+11x+17D(x),dx =53integral D'(x)D(x),dx+integral -tfrac173x+tfrac313D(x),dx
Assim a integral se separa em
Passo 4
Note que
D(x)=x^3+5x^2+4x+20=(x+5)(x^2+4)
Para a segunda parte fazemos frações parciais:
-tfrac173x+tfrac313(x+5)(x^2+4)=Ax+5+Bx+Cx^2+4
Igualando numeradores e resolvendo dá
Passo 5
Agora integraremos cada pedaço:
53integral D'(x)D(x),dx=53ln|D(x)|
integral 4/3x+5,dx=43ln|x+5|
integral -4/3,xx^2+4,dx=-43cdot12ln(x^2+4)=-23ln(x^2+4)
integral 1x^2+4,dx=12arctan!l(tfrac x2r)
Somando tudo e usando D(x)=(x+5)(x^2+4) para combinar logaritmos, obtemos a forma simplificada.