Determine as áreas das regiões compreendidas entre as curvas nos exercicios 81-84.
x+4 y^2=4 e x+y^4=1, para x >= 0

Passo 1

Estamos lidando com a região limitada pelas curvas x + 4y^2 = 4 e x + y^4 = 1 para x >= 0. O conteúdo é área entre curvas definidas por x = f(y), então vamos precisar encontrar as interseções em termos de y e montar uma integral em y.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as expressões de x:
4 - 4y^2 = 1 - y^4
Isso leva a
y^4 - 4y^2 + 3 = 0

Passo 3

Fatorando, temos (y^2 - 1)(y^2 - 3) = 0, de onde y^2 = 1 ou y^2 = 3. Como exigimos x >= 0, apenas y = pm1 produzem x = 0. Logo os limites em y vão de -1 a 1.

Passo 4

Em cada y nesse intervalo, a curva mais à direita é x = 4 - 4y^2 e a mais à esquerda é x = 1 - y^4. Assim a área vale
integraly=-1^1l[(4 - 4y^2)-(1 - y^4)r],dy =integral-1^1(3 - 4y^2 + y^4),dy

Passo 5

Como o integrando é função par, usamos simetria e escrevemos
integral-1^1(3 - 4y^2 + y^4),dy =2integral0^1(3 - 4y^2 + y^4),dy

Passo 6

Agora integramos de 0 a 1:
integral0^1(3 - 4y^2 + y^4),dy =l[3y - tfrac43y^3 + tfrac15y^5r]0^1 =3 - tfrac43 + tfrac15 =tfrac2815

Passo 7

Multiplicando por 2 (devido à simetria), obtemos o valor da área.

Resposta

\tfrac{56}{15}

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