Calcule a integral
integral x^2+2 x-12 x^3+3 x^2-2 x d x

Passo 1

A integral dada é integral x^2+2x-12x^3+3x^2-2x ,dx O conteúdo que vamos usar é a técnica de frações parciais, pois o denominador é um polinômio de grau 3.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais. Observe que
2x^3+3x^2-2x = x,(2x^2+3x-2) Depois, fatoramos o quadrático:
2x^2+3x-2 = (2x-1)(x+2) Logo,
2x^3+3x^2-2x = x,(2x-1),(x+2)

Passo 3

Agora assumimos uma decomposição do tipo
x^2+2x-1x(2x-1)(x+2) = Ax + B2x-1 + Cx+2 Multiplicando ambos os lados por x(2x-1)(x+2) ficamos com a identidade
x^2+2x-1 = A(2x-1)(x+2) + B,x(x+2) + C,x(2x-1) Expandindo cada termo:
$$A(2x^{2}+3x-2) + B(x^{2}+2x) + C(2x^{2}-x).
$$ Somando coeficientes em cada potência de A(2x^2+3x-2) + B(x^2+2x) + C(2x^2-x) resulta no sistema:
$$\begin{cases}2A + B + 2C = 1,\3A + 2B - C = 2,\-2A = -1.
\end{cases}$$

Passo 4

Da terceira equação vem A=1/2. Substituindo em
2A + B + 2C =1 e em 3A+2B-C=2 achamos
B=1/5 e C=-1/10. Assim a integral se escreve como soma de três integrais simples:
$$\int \frac{1/2}{x} ,dx + \int \frac{1/5}{2x-1} ,dx - \int \frac{1/10}{x+2} ,dx.
$$

Passo 5

Cada termo é um logaritmo. Integrando:
$$\frac12\ln|x| + \frac{1/5}{2}\ln|2x-1| - \frac{1}{10}\ln|x+2| + C.
$$ Podemos simplificar o segundo coeficiente para 12ln|x| + 1/52ln|2x-1| - 110ln|x+2| + C .

Resposta

12ln|x| + 110ln|2x-1| - 110ln|x+2| + C

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