Calcule a integral
Passo 1
A integral dada é
O conteúdo que vamos usar é a técnica de frações parciais, pois o denominador é um polinômio de grau 3.
Passo 2
Primeiro, fatoramos o denominador para simplificar a decomposição em frações parciais. Observe que
Passo 3
Agora assumimos uma decomposição do tipo
$$A(2x^{2}+3x-2) + B(x^{2}+2x) + C(2x^{2}-x).
$$ Somando coeficientes em cada potência de
resulta no sistema:
$$\begin{cases}2A + B + 2C = 1,\3A + 2B - C = 2,\-2A = -1.
\end{cases}$$
Passo 4
Da terceira equação vem
. Substituindo em
e em
achamos
e
. Assim a integral se escreve como soma de três integrais simples:
$$\int \frac{1/2}{x} ,dx + \int \frac{1/5}{2x-1} ,dx - \int \frac{1/10}{x+2} ,dx.
$$
Passo 5
Cada termo é um logaritmo. Integrando:
$$\frac12\ln|x| + \frac{1/5}{2}\ln|2x-1| - \frac{1}{10}\ln|x+2| + C.
$$ Podemos simplificar o segundo coeficiente para
.