Calcule a integral.
integral(x^2+2 x) cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral (x^2 + 2x)cos x ,dx
O conteúdo principal aqui é a técnica de integração por partes, que se baseia na fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du

Passo 2

Escolhemos
u = x^2 + 2x, dv = cos x,dx
Então
du = (2x+2),dx, v = integral cos x,dx = sin x
Pela fórmula de partes,
integral (x^2+2x)cos x,dx = (x^2+2x)sin x - integral (2x+2)sin x,dx

Passo 3

Agora calculamos
integral (2x+2)sin x,dx =2integral (x+1)sin x,dx
Para integral (x+1)sin x,dx fazemos nova integração por partes:
u1=x, dv1=sin x,dx ;Longrightarrow; du1=dx, v1=-cos x,
integral xsin x,dx = -xcos x + integral cos x,dx = -xcos x + sin x
Logo
integral (x+1)sin x,dx = l(-xcos x+sin xr) + integral sin x,dx = -xcos x + sin x - cos x
Multiplicando por 2,
integral (2x+2)sin x,dx = -2xcos x + 2sin x - 2cos x

Passo 4

Substituindo de volta em integral(x^2+2x)cos x,dx,
integral(x^2+2x)cos x,dx = (x^2+2x)sin x - l(-2xcos x + 2sin x - 2cos xr) + C
Isto é
= (x^2+2x)sin x + 2xcos x -2sin x +2cos x + C
e, agrupando termos,
= l(x^2+2x-2r)sin x + 2(x+1)cos x + C

Resposta

integral (x^2+2x)cos x,dx = l(x^2+2x-2r)sin x + 2(x+1)cos x + C

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