integral x^2 d xraizx^3+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral x^2,dxraizx^3+1
O conteúdo aqui é aplicação do método de substituição em integrais, aproveitando que a derivada de x^3+1 é proporcional a x^2.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^3 + 1,
para simplificar a raiz. Calculamos du:
du = 3x^2,dx Longrightarrow x^2,dx = du3

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
integral x^2,dxraizx^3+1 = integral 1raizu;du3 = 13integral u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora integramos em u:
integral u^-tfrac12,du = u^tfrac12tfrac12 = 2u^tfrac12
Logo,
13integral u^-tfrac12,du = 13cdot 2u^tfrac12 = 23u^tfrac12

Passo 5

Voltando à variável x com u=x^3+1, obtemos
23raizx^3+1+C

Resposta

integral x^2,dxraizx^3+1 = 23raizx^3+1+C

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