Exercício 4 (E.M.1.6)
Seja E um espaço vetorial real e d: E times E [0, infty[ uma métrica de E. Mostre que existe uma norma ||: E [0, infty[ tal que d(x, y)=|x-y| se, e somente se, d(x+a, y+a)=d(x, y), para todo a, x e y em E e d(lambda x, lambda y)=|lambda| d(x, y), para todo lambda in R, x e y em E.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que uma métrica d num espaço vetorial real E é induzida por alguma norma |cdot| (isto é, d(x,y)=|x-y|) se, e somente se, satisfaz
  1. invariância por translação:
d(x+a,y+a)=d(x,y)
para todo x,y,ain E,
2. homogeneidade:
d(lambda x,lambda y)=|lambda|,d(x,y)
para todo lambdainR e x,yin E.
Vamos usar: definição de norma, propriedades de métrica (positividade, identidade dos indiscerníveis, desigualdade triangular) e as hipóteses dadas.

Passo 2

(“Só se”) Suponha que existe uma norma |cdot| em E tal que
d(x,y)=|x-y|
Então, para todo a,x,yin E:
d(x+a,y+a)=|(x+a)-(y+a)|=|x-y|=d(x,y),
e para todo lambdainR e x,yin E:
d(lambda x,lambda y)=|lambda x-lambda y|=|lambda(x-y)|=|lambda|,|x-y|=|lambda|,d(x,y)
Portanto, as duas propriedades são necessárias.

Passo 3

(“Se”) Suponha agora que d satisfaz invariância por translação e homogeneidade. Defina
|x| ;=; d(x,0) para todo xin E
Vamos verificar que |cdot| é norma:
  1. positividade e identidade dos indiscerníveis: como d é métrica, d(x,0)>=0 e d(x,0)=0 se, e somente se, x=0. Logo |x|>=0 e |x|=0iff x=0.
  2. homogeneidade absoluta: para todo lambdainR,
|lambda x|=d(lambda x,0) =d(lambda x,lambdacdot 0) =|lambda|,d(x,0) =|lambda|,|x|
  1. desigualdade triangular: para todo x,yin E, pela desigualdade triangular de d e invariância por translação,
|x+y|=d(x+y,0) <= d(x+y,x)+d(x,0) =d(y,0)+|x| =|y|+|x|
Portanto |x+y|<=|x|+|y|.
Assim |cdot| é norma.

Passo 4

Finalmente, para quaisquer x,yin E,
d(x,y)=dl((x-y)+y,yr) oversettranslação=d(x-y,0) =|,x-y| çã
Isso mostra que d(x,y)=|x-y|.

Resposta

Basta definir |x|=d(x,0). Então d vem dessa norma exatamente quando d é invariante por translação e homogênea na forma dada.

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