Exercício 4 (E.M.1.6)
Seja
um espaço vetorial real e
uma métrica de
. Mostre que existe uma norma
tal que
se, e somente se,
, para todo
e
em
e
, para todo
e
em
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que uma métrica
num espaço vetorial real
é induzida por alguma norma
(isto é,
) se, e somente se, satisfaz
- invariância por translação:
para todo
,
2. homogeneidade:
2. homogeneidade:
para todo
e
.
Vamos usar: definição de norma, propriedades de métrica (positividade, identidade dos indiscerníveis, desigualdade triangular) e as hipóteses dadas.
Vamos usar: definição de norma, propriedades de métrica (positividade, identidade dos indiscerníveis, desigualdade triangular) e as hipóteses dadas.
Passo 2
(“Só se”) Suponha que existe uma norma
em
tal que
Então, para todo
:
e para todo
e
:
Portanto, as duas propriedades são necessárias.
Passo 3
(“Se”) Suponha agora que
satisfaz invariância por translação e homogeneidade. Defina
Vamos verificar que
é norma:
-
positividade e identidade dos indiscerníveis: como
é métrica, e se, e somente se, . Logo e . -
homogeneidade absoluta: para todo
,
- desigualdade triangular: para todo
, pela desigualdade triangular de e invariância por translação,
Portanto
.
Assim
é norma.
Passo 4
Finalmente, para quaisquer
,
Isso mostra que
.
Resposta
Basta definir
. Então
vem dessa norma exatamente quando
é invariante por translação e homogênea na forma dada.