Calcule a integral.
integral 9 x^4+17 x^3+3 x^2-8 x+3x^5+3 x^4 d x

Passo 1

Na integral integral 9x^4+17x^3+3x^2-8x+3x^5+3x^4,dx, estamos diante de uma função racional cujo grau do numerador é menor que o do denominador. A estratégia é usar frações parciais, para o que precisamos fatorar o denominador e depois decompor a expressão em somas de frações simples.

Passo 2

Fatorando o denominador temos
x^5+3x^4=x^4(x+3)

Passo 3

Propondo a decomposição em frações parciais:
9x^4+17x^3+3x^2-8x+3x^4(x+3)=Ax+3+Bx+Cx^2+Dx^3+Ex^4
Multiplicando ambos os lados por x^4(x+3) e comparando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=9, C+3B=17, 3C+D=3, 3D+E=-8, 3E=3

Passo 4

Resolvendo o sistema passo a passo: da última equação vem E=1. Substituindo em 3D+E=-8 3D+1=-8 e, portanto, D=-3. Em 3C+D=3 temos 3C-3=3 logo C=2. Em C+3B=17 obtemos 2+3B=17 então B=5. Finalmente, em A+B=9 vem A+5=9 e assim A=4.

Passo 5

Reescrevendo a integral com os coeficientes encontrados, temos a soma de integrais simples:
integral 4x+3dx + integral 5xdx + integral 2x^2dx + integral -3x^3dx + integral 1x^4dx
Agora integramos termo a termo:
  • integral 4x+3dx=4ln|x+3|
  • integral 5xdx=5ln|x|
  • integral 2x^2dx=-2x
  • integral -3x^3dx=32x^2
  • integral 1x^4dx=-13x^3.

Resposta

4\ln|x+3| + 5\ln|x| - \frac{2}{x} + \frac{3}{2x^{2}} - \frac{1}{3x^{3}} + C

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