Calcule a integral.
integral x^3+6 x^2+3 x+16x^3+4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
integral x^3+6x^2+3x+16x^3+4x,dx
Neste tipo de exercício, a gente costuma usar divisão polinomial (quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador) e depois frações parciais para integrar.

Passo 2

Primeiro, fazemos a divisão do numerador pelo denominador. Como ambos têm grau 3, dividimos:
x^3+6x^2+3x+16x^3+4x = 1 + 6x^2 - x +16x(x^2+4)
Assim a integral vira
integral dx + integral 6x^2 - x +16x(x^2+4),dx

Passo 3

Agora decompondo a parte própria em frações parciais:
6x^2-x+16x(x^2+4) = Ax + Bx+Cx^2+4
Multiplicando ambos os lados por x(x^2+4)
6x^2-x+16 = A(x^2+4) + (Bx+C)x

Passo 4

Combinando os termos em potência de x:
6x^2-x+16 = (A+B)x^2 + Cx + 4A
Comparando coeficientes temos o sistema:
A + B = 6 C = -1 4A = 16
Logo A=4, B=2 e C=-1.

Passo 5

Substituindo na integral completa:
integral x^3+6x^2+3x+16x^3+4x,dx = integral dx + integral 4x,dx + integral 2xx^2+4,dx - integral 1x^2+4,dx
Agora integramos termo a termo:
  • integral dx = x + C1
  • integral 4x,dx = 4ln|x| + C2
  • Para integral 2xx^2+4,dx, fazemos u = x^2+4, du = 2x,dx, dando integral du/u = ln(x^2+4) + C3.
  • Para integral 1x^2+4,dx, usamos a=2:
integral 1x^2+a^2,dx = 1aarctanxa + C4,
então fica tfrac12arctan(tfracx2).

Passo 6

Juntando tudo e absorvendo constantes em uma só, a integral fica:
x + 4ln|x| + ln(x^2+4) - 12arctanl(x2r) + C

Resposta

x + 4ln|x| + ln(x^2+4) - tfrac12arctanl(tfracx2r) + C

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