O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional
Neste tipo de exercício, a gente costuma usar divisão polinomial (quando o grau do numerador é maior ou igual ao do denominador) e depois frações parciais para integrar.
Passo 2
Primeiro, fazemos a divisão do numerador pelo denominador. Como ambos têm grau 3, dividimos:
Assim a integral vira
Passo 3
Agora decompondo a parte própria em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por dá
Passo 4
Combinando os termos em potência de :
Comparando coeficientes temos o sistema:
Logo A=4, B=2 e C=-1.
Passo 5
Substituindo na integral completa:
integral x^3+6x^2+3x+16x^3+4x,dx = integral dx + integral 4x,dx + integral 2xx^2+4,dx - integral 1x^2+4,dx
Agora integramos termo a termo:
integral dx = x + C1
integral 4x,dx = 4ln|x| + C2
Para integral 2xx^2+4,dx, fazemos u = x^2+4, du = 2x,dx, dando integral du/u = ln(x^2+4) + C3.
Para integral 1x^2+4,dx, usamos a=2:
integral 1x^2+a^2,dx = 1aarctanxa + C4,
então fica tfrac12arctan(tfracx2).
Passo 6
Juntando tudo e absorvendo constantes em uma só, a integral fica:
x + 4ln|x| + ln(x^2+4) - 12arctanl(x2r) + C
Resposta
x + 4ln|x| + ln(x^2+4) - tfrac12arctanl(tfracx2r) + C