Calcule a integral.
integral 4 x^3-3 x^2+6 x-27x^4+9 x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral 4x^3-3x^2+6x-27x^4+9x^2,dx. Vamos usar frações parciais, pois temos uma razão de polinômios onde o grau do numerador é menor que o do denominador, e o denominador se fatoriza.

Passo 2

O primeiro passo é fatorar o denominador:
x^4+9x^2=x^2(x^2+9)

Passo 3

Assim, propomos a decomposição em frações parciais do tipo
4x^3-3x^2+6x-27x^2(x^2+9)=Ax+Bx^2+Cx+Dx^2+9

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x^2(x^2+9), obtemos o polinômio-identidade:
4x^3-3x^2+6x-27=A x(x^2+9)+B(x^2+9)+(Cx+D)x^2

Passo 5

Expandindo e coletando coeficientes em cada potência de x, chegamos ao sistema:
A+C=4,B+D=-3,9A=6,9B=-27

Passo 6

Resolvendo-o: de 9A=6 vem A=2/3; de 9B=-27 vem B=-3; usando A+C=4 C=10/3; e por B+D=-3 segue D=0.

Passo 7

Substituindo na decomposição, temos
4x^3-3x^2+6x-27x^2(x^2+9)=2/3x-3x^2+(10/3)xx^2+9

Passo 8

Agora integramos termo a termo usando integral x^-1dx=ln|x|, integral x^-2dx=-x^-1 e a substituição u=x^2+9 em integral x/(x^2+9),dx:
integral2/3x,dx=23ln|x|,
integrall(-3x^2r)dx=3x,
integral10/3,xx^2+9,dx=103cdot12ln(x^2+9)=53ln(x^2+9)

Passo 9

Somando tudo e acrescentando a constante de integração C, obtemos o resultado.
Juntando as três parcelas, a primitiva é
23ln|x|+53ln(x^2+9)+3x+C

Resposta

\frac{2}{3}\ln|x|+\frac{5}{3}\ln\bigl(x^{2}+9\bigr)+\frac{3}{x}+C

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