O enunciado pede para calcular a integral . Vamos usar frações parciais, pois temos uma razão de polinômios onde o grau do numerador é menor que o do denominador, e o denominador se fatoriza.
Passo 2
O primeiro passo é fatorar o denominador:
Passo 3
Assim, propomos a decomposição em frações parciais do tipo
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por , obtemos o polinômio-identidade:
Passo 5
Expandindo e coletando coeficientes em cada potência de , chegamos ao sistema:
Passo 6
Resolvendo-o: de 9A=6 vem A=2/3; de 9B=-27 vem B=-3; usando A+C=4 dá C=10/3; e por B+D=-3 segue D=0.
Passo 7
Substituindo na decomposição, temos
4x^3-3x^2+6x-27x^2(x^2+9)=2/3x-3x^2+(10/3)xx^2+9
Passo 8
Agora integramos termo a termo usando integral x^-1dx=ln|x|, integral x^-2dx=-x^-1 e a substituição u=x^2+9 em integral x/(x^2+9),dx: