Sabendo que
é uma função derivável, use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva de equação
, no ponto de abscissa
.
Passo 1
A questão dá a curva implícita
e pede a reta tangente via derivação implícita no ponto de abscissa
. Vamos precisar achar a ordenada
, depois computar
implicitamente e, por fim, montar a reta.
Passo 2
Para encontrar o ponto, substituímos
na equação da curva:
Ou seja,
Logo o ponto é
.
Passo 3
Derivamos ambos os lados da equação em relação a
, lembrando da regra da cadeia e do produto. Para a esquerda temos:
Para a direita:
Portanto a igualdade derivada é
Passo 4
Isolamos
. Expandindo e reunindo termos:
Passo 5
Agora avaliamos
no ponto
. Note que
e o termo
some, pois
. Assim:
Passo 6
A reta tangente em
com coeficiente angular
vem de
Ou seja,
Que simplifica para a forma final da reta.