Sabendo que y=f(x) é uma função derivável, use a derivação implícita para encontrar a equação da reta tangente à curva de equação e^4 x y^2=2 x+2 y, no ponto de abscissa x=0.

Passo 1

A questão dá a curva implícita e^4 x y^2 = 2x + 2y e pede a reta tangente via derivação implícita no ponto de abscissa x=0. Vamos precisar achar a ordenada y(0), depois computar y'=dydx implicitamente e, por fim, montar a reta.

Passo 2

Para encontrar o ponto, substituímos x=0 na equação da curva:
e^4cdot0cdot y^2 = 2cdot0 + 2y
Ou seja,
e^0 = 2y ,implies, 1 = 2y ,implies, y = 12
Logo o ponto é (0,tfrac12).

Passo 3

Derivamos ambos os lados da equação em relação a x, lembrando da regra da cadeia e do produto. Para a esquerda temos:
ddxl(e^4xy^2r) = e^4xy^2 cdot ddx(4xy^2) = e^4xy^2l(4y^2 + 8xy,y'r)
Para a direita:
ddx(2x+2y) = 2 + 2y'
Portanto a igualdade derivada é
e^4xy^2l(4y^2 + 8xy,y'r) = 2 + 2y'

Passo 4

Isolamos y'. Expandindo e reunindo termos:
4y^2e^4xy^2 + 8xy,y'e^4xy^2 = 2 + 2y'
8xy,y'e^4xy^2 - 2y' = 2 - 4y^2e^4xy^2
y'l(8xy e^4xy^2 - 2r) = 2 - 4y^2e^4xy^2
y' = 2 - 4y^2e^4xy^28xy e^4xy^2 - 2

Passo 5

Agora avaliamos y' no ponto (0,tfrac12). Note que e^4cdot0cdot(1/2)^2=1 e o termo 8xy some, pois x=0. Assim:
y'l(0,tfrac12r) = 2 - 4(tfrac12)^2cdot10 - 2 = 2 - 4cdottfrac14-2 = 2 - 1-2 = -tfrac12

Passo 6

A reta tangente em (0,tfrac12) com coeficiente angular -tfrac12 vem de
y - y0 = m(x - x0)
Ou seja,
y - tfrac12 = -tfrac12(x - 0)
Que simplifica para a forma final da reta.

Resposta

y = -tfrac12x + tfrac12

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