Calcule a integral.
integral 2 x^2-25 x-33(x+1)^2(x-5) d x

Passo 1

Aqui precisamos calcular a integral integral 2x^2-25x-33(x+1)^2(x-5),dx. O conteúdo é frações parciais e vamos decompor a função racional em termos mais simples para integrar.

Passo 2

Decompondo em frações parciais, escrevemos
2x^2-25x-33(x+1)^2(x-5) = Ax+1 + B(x+1)^2 + Cx-5
Multiplicando ambos os lados por (x+1)^2(x-5) obtemos o numerador equivalente:
A(x+1)(x-5) + B(x-5) + C(x+1)^2 = 2x^2-25x-33
Expandindo e igualando coeficientes, montamos o sistema:
A + C = 2, -4A + B + 2C = -25, -5A -5B + C = -33
Resolvendo, encontramos A=5, B=1 e C=-3.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral 2x^2-25x-33(x+1)^2(x-5),dx = 5integral dxx+1 + integral dx(x+1)^2 -3integral dxx-5
Agora integramos cada termo:
5integral dxx+1 = 5ln|x+1|,
integral dx(x+1)^2 = -1x+1,
-3integral dxx-5 = -3ln|x-5|

Passo 4

Somando os resultados e incluindo a constante de integração, obtemos a forma final da antiderivada.

Resposta

5\ln|x+1| - \frac{1}{x+1} - 3\ln|x-5| + C

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