Ache a derivada das funçōes abaixo.
f(x)=(3 xx^2+1)^4

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a derivada de f(x)=l(3xx^2+1r)^4. É um problema de função composta, onde vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos u(x)=3xx^2+1 e escrevemos f(x)=u(x)^4. Pela regra da cadeia,
f'(x)=4,u(x)^3;u'(x)

Passo 3

Para achar u'(x), aplicamos a regra do quociente em u(x)=v(x)w(x) com v(x)=3x e w(x)=x^2+1. Temos:
u'(x)=v'(x),w(x)-v(x),w'(x)w(x)^2=3(x^2+1)-3xcdot2x(x^2+1)^2=3-3x^2(x^2+1)^2=3(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x):
f'(x)=4(3xx^2+1)^3cdot3(1-x^2)(x^2+1)^2

Passo 5

Agora simplificamos fatores semelhantes:
f'(x)=4cdot27x^3cdot3(1-x^2)(x^2+1)^5=324,x^3(1-x^2)(x^2+1)^5

Resposta

f'(x)=324,x^3(1-x^2)(x^2+1)^5

Exercícios relacionados