Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método do Exemplo 1 e calcular as somas parciais
, a soma parcial geral
e, se convergir, a soma da série infinita
. Vamos usar frações parciais e telescoping.
Passo 2
Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais: queremos
. Isso leva ao sistema
Resolvendo, de
vem
. Substituindo em
dá
então
e
. Logo
Passo 3
Agora somamos até
e vemos o cancelamento telescópico. Para
Para
Para
Passo 4
Observando o padrão telescópico geral até
, todos os termos intermediários cancelam, ficando
Passo 5
Finalmente, como
, a série converge e sua soma é
Resposta
(a) S₁=5/84, S₂=10/119, S₃=15/154; (b) Sₙ=1/7−1/(5n+7); © soma=1/7