Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
sumn=1^infty 5(5 n+2)(5 n+7)

Passo 1

O enunciado pede para usar o método do Exemplo 1 e calcular as somas parciais S1,S2,S3, a soma parcial geral Sn e, se convergir, a soma da série infinita sumn=1^infty 5(5n+2)(5n+7). Vamos usar frações parciais e telescoping.

Passo 2

Primeiro fazemos a decomposição em frações parciais: queremos 5(5n+2)(5n+7)=A5n+2+B5n+7. Isso leva ao sistema
A+B=0,
7A+2B=5
Resolvendo, de A+B=0 vem B=-A. Substituindo em 7A+2B=5 7A-2A=5 então A=1 e B=-1. Logo
5(5n+2)(5n+7)=15n+2-15n+7

Passo 3

Agora somamos até n=1,2,3 e vemos o cancelamento telescópico. Para n=1
S1=15cdot1+2-15cdot1+7=17-112=584
Para n=2
S2=l(tfrac17-tfrac112r)+l(tfrac112-tfrac117r)=17-117=10119
Para n=3
S3=17-122=15154

Passo 4

Observando o padrão telescópico geral até n, todos os termos intermediários cancelam, ficando
Sn=sumk=1^nl(tfrac15k+2-tfrac15k+7r)=17-15n+7

Passo 5

Finalmente, como limntoinfty15n+7=0, a série converge e sua soma é
sumn=1^infty5(5n+2)(5n+7)=limntoinftySn=17

Resposta

(a) S₁=5/84, S₂=10/119, S₃=15/154; (b) Sₙ=1/7−1/(5n+7); © soma=1/7

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