Calcule a integral.
integral x^4+2 x^2+4 x+1(x^2+1)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x^4+2 x^2+4 x+1(x^2+1)^3,dx. O conteúdo principal é integrar uma função racional via decomposição algébrica e substituição simples.

Passo 2

Repare que o numerador se escreve como
x^4+2x^2+4x+1 = (x^2+1)^2 + 4x

Passo 3

Assim a integral se separa em
integral (x^2+1)^2(x^2+1)^3,dx + integral 4x(x^2+1)^3,dx = integral 1x^2+1,dx + integral 4x(x^2+1)^3,dx

Passo 4

O primeiro termo é clássico:
integral 1x^2+1,dx = arctan x

Passo 5

No segundo termo fazemos a substituição u = x^2+1, logo du = 2x,dx. Temos
integral 4x(x^2+1)^3,dx = 2 integral u^-3,du = 2 cdot u^-2-2 = -u^-2

Passo 6

Voltando a x - (x^2+1)^-2. Juntando tudo e incluindo a constante de integração, obtemos a resposta final.

Resposta

arctan x - 1(x^2+1)^2 + C

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