Trace o gráfico da equação em coordenadas retangulares. Em seguida, escreva a equação em coordenadas polares.
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico da equação em coordenadas retangulares e depois reescrevê-la em coordenadas polares. A equação é xy = 8, que aparece em Geometria Analítica quando estudamos curvas de segundo grau (hipérboles). Vamos precisar lembrar que em coordenadas polares vale x = r\cosθ e y = r\sinθ.
Passo 2
Para esboçar a curva em retangulares, isolamos y: y = 8/x. Isso é uma hipérbole equilátera com ramos nos quadrantes I e III (onde xy>0) e assimptotas nos eixos x e y. Em x>0, y>0; em x<0, y<0. O ramo decai quando x→∞ (y→0+) e cresce quando x→0+ (y→∞).
Passo 3
Agora passamos para as coordenadas polares, substituindo x = r\cosθ e y = r\sinθ na equação xy = 8:
Isso dá uma expressão em r e θ:
Passo 4
Note que essa expressão só faz sentido quando
, o que corresponde aos ângulos que colocam o ponto nos quadrantes I e III, consistente com a hipérbole original.
Resposta
A equação em coordenadas polares é
ou equivalentemente