Trace o gráfico da equação em coordenadas retangulares. Em seguida, escreva a equação em coordenadas polares.
x y=8

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da equação em coordenadas retangulares e depois reescrevê-la em coordenadas polares. A equação é xy = 8, que aparece em Geometria Analítica quando estudamos curvas de segundo grau (hipérboles). Vamos precisar lembrar que em coordenadas polares vale x = r\cosθ e y = r\sinθ.

Passo 2

Para esboçar a curva em retangulares, isolamos y: y = 8/x. Isso é uma hipérbole equilátera com ramos nos quadrantes I e III (onde xy>0) e assimptotas nos eixos x e y. Em x>0, y>0; em x<0, y<0. O ramo decai quando x→∞ (y→0+) e cresce quando x→0+ (y→∞).

Passo 3

Agora passamos para as coordenadas polares, substituindo x = r\cosθ e y = r\sinθ na equação xy = 8:
(rcosθ) ,(rsinθ) = 8
Isso dá uma expressão em r e θ:
r^2 (cosθ sinθ) = 8 \nUsamos a identidade trigonométrica sin2θ = 2sinθcosθ, então cosθsinθ = tfrac12sin2θ. Substituindo:
r^2 cdot tfrac12sin2θ = 8 \nMultiplicamos ambos os lados por 2 para simplificar:
r^2 sin2θ = 16 \nFinalmente, isolamos r em função de θ. Como normalmente adotamos r>=0, temos:
r^2 = 16sin2θ Longrightarrow r = 4raizsin2θ

Passo 4

Note que essa expressão só faz sentido quando sin2θ>0, o que corresponde aos ângulos que colocam o ponto nos quadrantes I e III, consistente com a hipérbole original.

Resposta

A equação em coordenadas polares é
r^2sin2θ = 16
ou equivalentemente
r = 4raizsin2θ, sin2θ>0

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