Calcule a integral integral x^2+7x^3-9 x d x

Passo 1

A gente quer calcular a integral integral x^2+7x^3-9x,dx. Isso é uma integral de função racional (grau do numerador menor que o do denominador), então vamos usar frações parciais. Primeiro, vamos fatorar o denominador.

Passo 2

Fatorando o denominador, temos:
x^3-9x = x(x^2-9) = x(x-3)(x+3)

Passo 3

Agora, fazemos a decomposição em frações parciais:
x^2+7x(x-3)(x+3) = Ax + Bx-3 + Cx+3

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por x(x-3)(x+3) e comparando coeficientes de cada potência de x, obtemos:
x^2+7 = A(x-3)(x+3) + B,x(x+3) + C,x(x-3)

Passo 5

Expandindo o lado direito e organizando em potências de x:
(A+B+C)x^2 + (3B-3C)x -9A

Passo 6

Igualando aos coeficientes de x^2+7, montamos o sistema:
A + B + C = 1,
3B - 3C = 0,
-9A = 7

Passo 7

Da última equação vem A = -tfrac79. A segunda diz que B = C. Substituindo na primeira:
,-tfrac79 + 2B = 1 implies 2B = tfrac169 implies B = C = tfrac89

Passo 8

Com isso, a integral vira:
integral (-tfrac791x + tfrac891x-3 + tfrac891x+3) dx

Passo 9

Agora basta usar integral 1u du = ln|u| + C e integrar cada termo.

Resposta

-tfrac79ln|x| + tfrac89ln|x-3| + tfrac89ln|x+3| + C

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