Considere a função f(x, y)=xx^2+y^2+1 e o ponto P0(1,1).
Determine a direção de máxima variação da função no ponto P0.

Passo 1

A função dada é f(x,y)=xx^2+y^2+1 e o ponto de interesse é P0(1,1). Para encontrar a direção de máxima variação, vamos usar o conceito de gradiente, pois ele indica a direção em que a função cresce mais rapidamente.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f usando a regra do quociente. Definimos N=x e D=x^2+y^2+1. Assim temos:
partial fpartial x=NxD-NDxD^2=1,(x^2+y^2+1)-x,2x(x^2+y^2+1)^2=-x^2+y^2+1(x^2+y^2+1)^2,
partial fpartial y=0cdot D - x,2y(x^2+y^2+1)^2=-2xy(x^2+y^2+1)^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas em P0(1,1):
partial fpartial x(1,1)=-1^2+1^2+1(1+1+1)^2=19,
partial fpartial y(1,1)=-2cdot1cdot19=-29
Logo o gradiente em P0 é
nabla f(1,1)=l(tfrac19,-tfrac29r)

Passo 4

O módulo desse gradiente é
|nabla f(1,1)|=raizl(tfrac19r)^2+l(-tfrac29r)^2=raiz59
Para obter a direção unitária, dividimos o gradiente pelo seu módulo, resultando em
l(tfrac1/9raiz5/9,tfrac-2/9raiz5/9r)=l(tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5r)

Resposta

l(tfrac1raiz5,-tfrac2raiz5r)

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