Determine e classifique os pontos críticos da função
.
.
Passo 1
A questão pede para achar e classificar os pontos críticos da função
. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar onde
e, depois, exame da matriz Hessiana para classificar o ponto.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais:
Passo 3
Determinar os pontos onde
e
:
De temos
.
De temos
.
Substituindo em
dá
, ou seja
⇒
(descartamos
).
Logo e daí
.
Portanto o único ponto crítico é .
De
De
Substituindo
Logo
Portanto o único ponto crítico é
Passo 4
Calcular as segundas derivadas para montar a Hessiana:
No ponto
A matriz Hessiana é
Passo 5
Calcular o discriminante
. Como
e
, concluímos que
é ponto de mínimo local.
Resposta
O único ponto crítico é (1,1), e ele é um mínimo local.