Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=x y+1x+1y.

Passo 1

A questão pede para achar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=x y+1x+1y. Vamos usar cálculo de derivadas parciais para encontrar onde nabla f=0 e, depois, exame da matriz Hessiana para classificar o ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais:
fx=partial fpartial x=y-1x^2, fy=partial fpartial y=x-1y^2

Passo 3

Determinar os pontos onde fx=0 e fy=0:
De fx=0 temos y=1/x^2.
De fy=0 temos x=1/y^2.
Substituindo y=1/x^2 em x=1/y^2 x=1/(1/x^2)^2=x^4, ou seja x-x^4=0 x=1 (descartamos x=0).
Logo x=1 e daí y=1/1^2=1.
Portanto o único ponto crítico é (1,1).

Passo 4

Calcular as segundas derivadas para montar a Hessiana:
fxx=2x^3, fyy=2y^3, fxy=fyx=1
No ponto (1,1) temos fxx=2, fyy=2, fxy=1.
A matriz Hessiana é
H(1,1)=2 & 11 & 2

Passo 5

Calcular o discriminante D=det H(1,1)=2cdot2-1cdot1=3>0. Como D>0 e fxx(1,1)=2>0, concluímos que (1,1) é ponto de mínimo local.

Resposta

O único ponto crítico é (1,1), e ele é um mínimo local.

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