Determine e classifique os pontos críticos da função f.
f(x, y)=y(e^x-1).

Passo 1

O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função f(x,y)=y(e^x-1). Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais (para encontrar onde nabla f=0) e depois usar a matriz Hessiana (para classificar o tipo de cada ponto).

Passo 2

As derivadas parciais de f são dadas por:
fx = y,e^x, fy = e^x - 1

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos resolvemos o sistema fx=0 e fy=0. Como e^x>0 para todo x, de fx=0 vem y=0. De fy=0 vem e^x-1=0, ou seja, x=0. Logo o único ponto crítico é (0,0).

Passo 4

Em seguida calculamos as segundas derivadas e montamos a matriz Hessiana:
fxx=y,e^x, fxy=e^x, fyy=0,
H(x,y)=y,e^x & e^x[6pt] e^x & 0

Passo 5

Avaliando em (0,0) temos
H(0,0)=0 & 1[4pt]1 & 0, cujo determinante é
det H(0,0)=0cdot0 - 1cdot1 = -1 < 0

Passo 6

Como o determinante da Hessiana é negativo, o ponto (0,0) é um ponto de sela.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.

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