Determine e classifique os pontos críticos da função
.
.
Passo 1
O enunciado pede para determinar e classificar os pontos críticos da função
. Para isso vamos precisar calcular as derivadas parciais (para encontrar onde
) e depois usar a matriz Hessiana (para classificar o tipo de cada ponto).
Passo 2
As derivadas parciais de
são dadas por:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos resolvemos o sistema
e
. Como
para todo
, de
vem
. De
vem
, ou seja,
. Logo o único ponto crítico é
.
Passo 4
Em seguida calculamos as segundas derivadas e montamos a matriz Hessiana:
Passo 5
Avaliando em
temos
Passo 6
Como o determinante da Hessiana é negativo, o ponto
é um ponto de sela.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0) e ele é um ponto de sela.