Calcule
integral x^2(x^2+a^2)^3 / 2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral x^2(x^2+a^2)^3/2,dx. O conteúdo aqui é ‘‘integrais de potências de binômio quadrático’’ e vamos usar técnicas de decomposição algébrica e integrais padrão.

Passo 2

Repare que podemos escrever o numerador x^2 como (x^2+a^2)-a^2. Assim,
[\displaystyle \frac{x{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{x{2}+a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}-\frac{a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{1}{\sqrt{x{2}+a{2}}}-\frac{a{2}}{(x{2}+a{2})^{3/2}}]

Passo 3

Logo separamos a integral em duas partes:
[\displaystyle \int \frac{x{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}},dx=\int \frac{1}{\sqrt{x{2}+a{2}}},dx - a^{2}\int \frac{1}{(x{2}+a{2})^{3/2}},dx.]

Passo 4

A primeira integral é padrão:
[\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x{2}+a{2}}}=\ln\bigl(x+\sqrt{x{2}+a{2}}\bigr).]

Passo 5

Para a segunda, note que
[\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x{2}+a{2}}}\Bigr)=\frac{a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}.]
Portanto,
[\displaystyle \int \frac{dx}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{x}{a{2}\sqrt{x{2}+a{2}}}.]

Passo 6

Substituindo de volta e simplificando obtemos a resposta final.

Resposta

lnl(x+raizx^2+a^2r)-xraizx^2+a^2+C

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