Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
. O conteúdo aqui é ‘‘integrais de potências de binômio quadrático’’ e vamos usar técnicas de decomposição algébrica e integrais padrão.
Passo 2
Repare que podemos escrever o numerador
como
. Assim,
[\displaystyle \frac{x{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{x{2}+a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}-\frac{a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{1}{\sqrt{x{2}+a{2}}}-\frac{a{2}}{(x{2}+a{2})^{3/2}}]
[\displaystyle \frac{x{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{x{2}+a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}-\frac{a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{1}{\sqrt{x{2}+a{2}}}-\frac{a{2}}{(x{2}+a{2})^{3/2}}]
Passo 3
Logo separamos a integral em duas partes:
[\displaystyle \int \frac{x{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}},dx=\int \frac{1}{\sqrt{x{2}+a{2}}},dx - a^{2}\int \frac{1}{(x{2}+a{2})^{3/2}},dx.]
[\displaystyle \int \frac{x{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}},dx=\int \frac{1}{\sqrt{x{2}+a{2}}},dx - a^{2}\int \frac{1}{(x{2}+a{2})^{3/2}},dx.]
Passo 4
A primeira integral é padrão:
[\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x{2}+a{2}}}=\ln\bigl(x+\sqrt{x{2}+a{2}}\bigr).]
[\displaystyle \int \frac{dx}{\sqrt{x{2}+a{2}}}=\ln\bigl(x+\sqrt{x{2}+a{2}}\bigr).]
Passo 5
Para a segunda, note que
[\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x{2}+a{2}}}\Bigr)=\frac{a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}.]
Portanto,
[\displaystyle \int \frac{dx}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{x}{a{2}\sqrt{x{2}+a{2}}}.]
[\displaystyle \frac{d}{dx}\Bigl(\frac{x}{\sqrt{x{2}+a{2}}}\Bigr)=\frac{a{2}}{(x{2}+a{2}){3/2}}.]
Portanto,
[\displaystyle \int \frac{dx}{(x{2}+a{2}){3/2}}=\frac{x}{a{2}\sqrt{x{2}+a{2}}}.]
Passo 6
Substituindo de volta e simplificando obtemos a resposta final.