Questão 2
Calcule o comprimento da curva dada pela interseção das superfícies x=3 y^2 e z=2 x y no intervalo que vai da origem até o ponto (3,1,6).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para calcular o comprimento de uma curva que é a interseção das superfícies $ x = 3y^{2} $ e $ z = 2xy $, desde a origem x = 3y^2 até o ponto z = 2xy . Vamos usar conceitos de cálculo de comprimento de curvas paramétricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos parametrizar a curva de interseção dessas duas superfícies. Vamos escolher $ y $ como nosso parâmetro, já que $ x $ e $ z $ estão expressos em termos de $ y $.
Dadas as equações:
y
x
Então, temos as equações paramétricas da curva:
z
y
x = 3y^2

Passo 3

Agora, para calcular o comprimento dessa curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica:
L = integrala^b raiz(dxdy)^2 + (dzdy)^2 , dy
Onde $ a $ e $ b $ são os valores dos parâmetros $ y $ nos pontos inicial e final.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a $ y $:
y
dxdy = ddy(3y^2) = 6y

Passo 5

Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
L = integral0^1 raiz(6y)^2 + (18y^2)^2 , dy = integral0^1 raiz36y^2 + 324y^4 , dy

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz36y^2 + 324y^4 = raiz36y^2(1 + 9y^2) = 6y raiz1 + 9y^2
Então, o comprimento fica:
L = integral0^1 6y raiz1 + 9y^2 , dy

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Vamos deixar $ u = 1 + 9y^{2} $, então:
u = 1 + 9y^2
Substituindo na integral:
dudy = 18y implies dy = du18y

Passo 8

Integrando:
13 cdot 23 u^3/2 + C = 29 u^3/2 + C
Voltando para $ y $:
y

Passo 9

Calculando os limites:
L = 29 [(1 + 9(1)^2)^3/2 - (1 + 9(0)^2)^3/2] = 29 [(10)^3/2 - 1]
Sabemos que $ 10^{3/2} = 10 \sqrt{10} $, então:
10^3/2 = 10 raiz10

Resposta

O comprimento da curva é $ \frac{2}{9} (10 \sqrt{10} - 1) $ unidades.

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