Questão 2
Calcule o comprimento da curva dada pela interseção das superfícies
e
no intervalo que vai da origem até o ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para calcular o comprimento de uma curva que é a interseção das superfícies $ x = 3y^{2} $ e $ z = 2xy $, desde a origem
até o ponto
. Vamos usar conceitos de cálculo de comprimento de curvas paramétricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos parametrizar a curva de interseção dessas duas superfícies. Vamos escolher $ y $ como nosso parâmetro, já que $ x $ e $ z $ estão expressos em termos de $ y $.
Dadas as equações:
Então, temos as equações paramétricas da curva:
Passo 3
Agora, para calcular o comprimento dessa curva, usamos a fórmula do comprimento de uma curva paramétrica:
Onde $ a $ e $ b $ são os valores dos parâmetros $ y $ nos pontos inicial e final.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas das funções paramétricas em relação a $ y $:
Passo 5
Substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, o comprimento fica:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos uma substituição. Vamos deixar $ u = 1 + 9y^{2} $, então:
Substituindo na integral:
Passo 8
Integrando:
Voltando para $ y $:
Passo 9
Calculando os limites:
Sabemos que $ 10^{3/2} = 10 \sqrt{10} $, então:
Resposta
O comprimento da curva é $ \frac{2}{9} (10 \sqrt{10} - 1) $ unidades.