Questão 5
Determine o vetor posição de uma partícula, dada:
a sua aceleração a(t)=3 t i+sin (t) j+cos (3 t) k, sua velocidade v(0)=i-j e inicial r(0)=i+j-k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o vetor posição da partícula, r(t). Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de vetores para achar a velocidade e a posição a partir da aceleração. Vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição. Além disso, vamos usar as condições iniciais fornecidas para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com a aceleração da partícula:
a(t) = 3t, i + sin(t), j + cos(3t), k
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.

Passo 3

Integrando a aceleração para encontrar a velocidade:
v(t) = integral a(t), dt = integral (3t, i + sin(t), j + cos(3t), k) dt
Vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 4

Integrando a componente i:
integral 3t, dt = 32 t^2 + C1
Integrando a componente j:
integral sin(t), dt = -cos(t) + C2
Integrando a componente k:
integral cos(3t), dt = 13 sin(3t) + C3
Então, a velocidade geral fica:
v(t) = ( 32 t^2 + C1 ) i + ( -cos(t) + C2 ) j + ( 13 sin(3t) + C3 ) k

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial de velocidade v(0) = i - j para encontrar as constantes C1, C2 e C3.
Substituindo t = 0 na expressão de v(t):
v(0) = ( 32 cdot 0^2 + C1 ) i + ( -cos(0) + C2 ) j + ( 13 sin(0) + C3 ) k
Simplificando:
v(0) = C1, i + (-1 + C2), j + C3, k
Igualando a v(0) = i - j:
C1 = 1, -1 + C2 = -1, C3 = 0
Portanto, C1 = 1, C2 = 0 e C3 = 0.

Passo 6

Substituindo as constantes na expressão de v(t):
v(t) = ( 32 t^2 + 1 ) i + ( -cos(t) ) j + ( 13 sin(3t) ) k

Passo 7

Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição r(t):
r(t) = integral v(t), dt = integral ( ( 32 t^2 + 1 ) i + ( -cos(t) ) j + ( 13 sin(3t) ) k ) dt
Vamos integrar cada componente separadamente.

Passo 8

Integrando a componente i:
integral ( 32 t^2 + 1 ) dt = 12 t^3 + t + D1
Integrando a componente j:
integral -cos(t), dt = -sin(t) + D2
Integrando a componente k:
integral 13 sin(3t), dt = -19 cos(3t) + D3
Então, a posição geral fica:
r(t) = ( 12 t^3 + t + D1 ) i + ( -sin(t) + D2 ) j + ( -19 cos(3t) + D3 ) k

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial de posição r(0) = i + j - k para encontrar as constantes D1, D2 e D3.
Substituindo t = 0 na expressão de r(t):
r(0) = ( 12 cdot 0^3 + 0 + D1 ) i + ( -sin(0) + D2 ) j + ( -19 cos(0) + D3 ) k
Simplificando:
r(0) = D1, i + D2, j + ( -19 + D3 ) k
Igualando a r(0) = i + j - k:
D1 = 1, D2 = 1, -19 + D3 = -1
Resolvendo para D3:
D3 = -1 + 19 = -89

Passo 10

Substituindo as constantes na expressão de r(t):
r(t) = ( 12 t^3 + t + 1 ) i + ( -sin(t) + 1 ) j + ( -19 cos(3t) - 89 ) k

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:
r(t) = ( 12 t^3 + t + 1 ) i + ( 1 - sin(t) ) j + ( -89 - 19 cos(3t) ) k

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