Questão 5
Determine o vetor posição de uma partícula, dada:
a sua aceleração
, sua velocidade
e inicial
.
a sua aceleração
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar o vetor posição da partícula,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente integração de vetores para achar a velocidade e a posição a partir da aceleração. Vamos precisar integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição. Além disso, vamos usar as condições iniciais fornecidas para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com a aceleração da partícula:
Para encontrar a velocidade, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Passo 3
Integrando a aceleração para encontrar a velocidade:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Passo 4
Integrando a componente
:
Integrando a componente
:
Integrando a componente
:
Então, a velocidade geral fica:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial de velocidade
para encontrar as constantes
,
e
.
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Igualando a
:
Portanto,
,
e
.
Passo 6
Substituindo as constantes na expressão de
:
Passo 7
Agora, vamos integrar a velocidade para encontrar a posição
:
Vamos integrar cada componente separadamente.
Passo 8
Integrando a componente
:
Integrando a componente
:
Integrando a componente
:
Então, a posição geral fica:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial de posição
para encontrar as constantes
,
e
.
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Igualando a
:
Resolvendo para
:
Passo 10
Substituindo as constantes na expressão de
:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: