Calcule.
Passo 1
Nesse problema, temos a integral
. O conteúdo aqui é integração de funções com raiz quadrada de termo quadrático, e vamos usar a substituição trigonométrica adequada para simplificar a raiz.
Passo 2
Para eliminar a raiz
, fazemos a substituição
. Assim,
e
.
Passo 3
Reescrevendo a integral em função de
:
[
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}},dx
= \int \frac{(5\sin t)^{2}}{5\cos t}\cdot(5\cos t),dt
= \int 25\sin^{2}t,dt.
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}},dx
= \int \frac{(5\sin t)^{2}}{5\cos t}\cdot(5\cos t),dt
= \int 25\sin^{2}t,dt.
Passo 4
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica
. Logo,
[
\int 25\sin^{2}t,dt
= 25 \int \frac{1 - \cos(2t)}{2},dt
= \frac{25}{2}\int(1 - \cos(2t)),dt
= \frac{25}{2}\Bigl(t - \frac{\sin(2t)}{2}\Bigr) + C.
\int 25\sin^{2}t,dt
= 25 \int \frac{1 - \cos(2t)}{2},dt
= \frac{25}{2}\int(1 - \cos(2t)),dt
= \frac{25}{2}\Bigl(t - \frac{\sin(2t)}{2}\Bigr) + C.
Passo 5
Agora voltamos à variável
. Sabemos que
e
. Substituindo:
[
\frac{25}{2}t - \frac{25}{2}\cdot\frac{\sin(2t)}{2}
= \frac{25}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{5}\Bigr) - \frac{25}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2x\sqrt{25 - x^{2}}}{25}
= \frac{25}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{5}\Bigr) - \frac{x}{2}\sqrt{25 - x^{2}} + C.
\frac{25}{2}t - \frac{25}{2}\cdot\frac{\sin(2t)}{2}
= \frac{25}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{5}\Bigr) - \frac{25}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2x\sqrt{25 - x^{2}}}{25}
= \frac{25}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{5}\Bigr) - \frac{x}{2}\sqrt{25 - x^{2}} + C.
Passo 6
Portanto, a integral original é dada por: