Calcule.
integral x^2raiz25-x^2 d x

Passo 1

Nesse problema, temos a integral integral x^2raiz25 - x^2,dx. O conteúdo aqui é integração de funções com raiz quadrada de termo quadrático, e vamos usar a substituição trigonométrica adequada para simplificar a raiz.

Passo 2

Para eliminar a raiz raiz25 - x^2, fazemos a substituição x = 5sin t. Assim, dx = 5cos t,dt e raiz25 - x^2 = raiz25 - 25sin^2t = 5cos t.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de t:
[
\int \frac{x^{2}}{\sqrt{25 - x^{2}}},dx
= \int \frac{(5\sin t)^{2}}{5\cos t}\cdot(5\cos t),dt
= \int 25\sin^{2}t,dt.

Passo 4

Para integrar 25sin^2t, usamos a identidade trigonométrica sin^2t = tfrac1 - cos(2t)2. Logo,
[
\int 25\sin^{2}t,dt
= 25 \int \frac{1 - \cos(2t)}{2},dt
= \frac{25}{2}\int(1 - \cos(2t)),dt
= \frac{25}{2}\Bigl(t - \frac{\sin(2t)}{2}\Bigr) + C.

Passo 5

Agora voltamos à variável x. Sabemos que t = arcsinl(tfracx5r) e sin(2t)=2sin tcos t=2x5raiz25 - x^25=2xraiz25 - x^225. Substituindo:
[
\frac{25}{2}t - \frac{25}{2}\cdot\frac{\sin(2t)}{2}
= \frac{25}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{5}\Bigr) - \frac{25}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{2x\sqrt{25 - x^{2}}}{25}
= \frac{25}{2}\arcsin\Bigl(\frac{x}{5}\Bigr) - \frac{x}{2}\sqrt{25 - x^{2}} + C.

Passo 6

Portanto, a integral original é dada por:
integral x^2raiz25 - x^2,dx = 252arcsinl(x5r) - x2raiz25 - x^2 + C

Resposta

-tfracx2raiz25 - x^2 + tfrac252arcsinl(tfracx5r) + C

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