Nos Exercícios 1-12, use a Regra Exponencial para encontrar a integral indefinida.
integral 3 x e^0,5 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é a seguinte: integral 3x e^0,5 x^2 , dx. O conteúdo que vamos usar aqui é a Regra Exponencial, que nos ajuda a integrar funções que têm a forma de um polinômio multiplicado por uma função exponencial. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre substituição, que é uma técnica que facilita as integrais mais complicadas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa integral que correspondem à regra exponencial. Na expressão 3x e^0,5 x^2, temos um polinômio 3x multiplicando a função exponencial e^0,5 x^2. A ideia aqui é encontrar uma substituição que simplifique a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja u = 0,5 x^2. Então, derivando u em relação a x, temos:
dudx = x Rightarrow du = x , dx

Passo 4

Observamos que na nossa integral original temos 3x , dx. Podemos reescrever isso em termos de du:
3x , dx = 3 , du

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original:
integral 3x e^0,5 x^2 , dx = integral 3 e^u , du

Passo 6

A integração de e^u em relação a u é muito direta:
integral e^u , du = e^u + C
Portanto,
integral 3 e^u , du = 3 e^u + C

Passo 7

Agora, voltamos à variável original substituindo u = 0,5 x^2:
3 e^u + C = 3 e^0,5 x^2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral 3x e^0,5 x^2 , dx = 3 e^0,5 x^2 + C

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