Nos Exercícios 35-42, use a substituição formal (comoilustrado nos Exemplos 5 e 6) para determinar a integral indefinida.
integral t raizt^2+1 d t

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a integral indefinida integral t raizt^2+1 , dt. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando a técnica de substituição. A substituição é útil quando a integral parece complicada, mas uma mudança de variável simplifica tudo. Vamos precisar identificar uma parte da expressão que podemos substituir por uma nova variável para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando raizt^2+1, parece uma boa ideia deixar u = t^2 + 1. Isso porque a derivada de u em relação a t vai aparecer na integral.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de u:
dudt = 2t Rightarrow du = 2t , dt
Isso significa que t , dt = du2.

Passo 4

Substituímos u e t , dt na integral original:
integral t raizt^2+1 , dt = integral raizu cdot du2 = 12 integral u^1/2 , du

Passo 5

Agora, vamos integrar 12 integral u^1/2 , du. A integral de u^n é u^n+1n+1 + C, onde C é a constante de integração.
12 integral u^1/2 , du = 12 cdot u^3/23/2 + C = 12 cdot 23 u^3/2 + C = 13 u^3/2 + C

Passo 6

Agora que temos a integral em termos de u, vamos voltar para a variável original t substituindo u = t^2 + 1:
13 u^3/2 + C = 13 (t^2 + 1)^3/2 + C

Resposta

A integral indefinida é:
integral t raizt^2+1 , dt = 13 (t^2 + 1)^3/2 + C

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