Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma fração algébrica:
Nesse caso, vamos usar o conteúdo de frações parciais. Isso porque o numerador e o denominador são polinômios, e o grau do numerador é igual ao do denominador. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador para entender melhor a expressão:
Então, o denominador completo fica:
Agora, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais:
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir os termos do lado direito para facilitar a comparação dos coeficientes.
Passo 4
Expandindo cada termo:
Agora, somando tudo:
Passo 5
Vamos agrupar os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de de ambos os lados da equação:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
- A - 3B = 1 implies A = -3B - 1
Agora, substituímos -3B - 1 + B + C = 1 implies -2B + C = 2 implies C = 2B + 2 na primeira equação: