Calcule
integral x^2+x+1(x^2-1)(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular a integral de uma fração algébrica:
integral x^2 + x + 1(x^2 - 1)(x - 2) , dx
Nesse caso, vamos usar o conteúdo de frações parciais. Isso porque o numerador e o denominador são polinômios, e o grau do numerador é igual ao do denominador. Vamos precisar decompor essa fração em partes mais simples para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador para entender melhor a expressão:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)
Então, o denominador completo fica:
(x^2 - 1)(x - 2) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)
Agora, podemos escrever a fração original como uma soma de frações parciais:
x^2 + x + 1(x - 1)(x + 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx + 1 + Cx - 2
Aqui, , e são constantes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador x^2 + x + 1 = A(x + 1)(x - 2) + B(x - 1)(x - 2) + C(x - 1)(x + 1) para eliminar as frações:
Agora, vamos expandir os termos do lado direito para facilitar a comparação dos coeficientes.

Passo 4

Expandindo cada termo:
A(x + 1)(x - 2) = A(x^2 - x - 2)
B(x - 1)(x - 2) = B(x^2 - 3x + 2)
C(x - 1)(x + 1) = C(x^2 - 1)
Agora, somando tudo:
x^2 + x + 1 = A(x^2 - x - 2) + B(x^2 - 3x + 2) + C(x^2 - 1)

Passo 5

Vamos agrupar os termos semelhantes:
x^2 + x + 1 = (A + B + C)x^2 + (-A - 3B)x + (-2A + 2B - C)
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de A + B + C = 1 - A - 3B = 1 -2A + 2B - C = 1 de ambos os lados da equação:

Passo 6

Vamos resolver esse sistema de equações. Primeiro, da segunda equação:
- A - 3B = 1 implies A = -3B - 1
Agora, substituímos -3B - 1 + B + C = 1 implies -2B + C = 2 implies C = 2B + 2 na primeira equação:
-2(-3B - 1) + 2B - (2B + 2) = 1 6B + 2 + 2B - 2B - 2 = 1 6B = 1 implies B = 16
Por fim, substituímos e na terceira equação:

Passo 7

Agora que temos A = -3(16) - 1 = -12 - 1 = -32 , vamos encontrar C = 2(16) + 2 = 13 + 2 = 73 e :

Passo 8

Agora podemos escrever a fração original em termos das frações parciais encontradas:
x^2 + x + 1(x - 1)(x + 1)(x - 2) = -32x - 1 + 16x + 1 + 73x - 2
Simplificando:
= -32cdot1x - 1 + 16cdot1x + 1 + 73cdot1x - 2

Passo 9

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral x^2 + x + 1(x - 1)(x + 1)(x - 2) , dx = -32 integral 1x - 1 , dx + 16 integral 1x + 1 , dx + 73 integral 1x - 2 , dx
Sabemos que:
integral 1x - a , dx = ln|x - a| + C
onde é a constante de integração.

Passo 10

Aplicando a integral:
= -32 ln|x - 1| + 16 ln|x + 1| + 73 ln|x - 2| + C

Resposta

A integral calculada é:
-32 ln|x - 1| + 16 ln|x + 1| + 73 ln|x - 2| + C

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