Determine a área da região delimitada por
(fazzer a interpretaçăo geométrica).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas
e
. A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e depois integrar a diferença entre elas nos intervalos certos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
Igualando as duas expressões para
:
Passo 3
Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de
.
Passo 4
Usando a fórmula de Bhaskara para resolver
:
Onde
,
e
:
Portanto, temos duas soluções:
Passo 5
Agora, encontramos os valores correspondentes de
para cada
:
Para
:
Para
:
Então, os pontos de interseção são
e
.
Passo 6
Vamos identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração. Observando as equações:
Para determinar qual está à direita (maior
), vamos comparar os valores:
Para
:
Então, a reta está à direita da parábola nesse intervalo.
Passo 7
A área entre as curvas pode ser calculada integrando a diferença entre as funções de
da reta e da parábola em relação a
, já que as funções estão expressas em termos de
.
A fórmula para a área
é:
Passo 8
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 9
Agora, vamos integrar termo a termo:
Portanto:
Passo 10
Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para
:
Para
:
Passo 11
Subtraindo os valores:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas
e
é
unidades quadradas.