Determine a área da região delimitada por x=y^2+1 ; y+x=3 (fazzer a interpretaçăo geométrica).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a área da região limitada pelas curvas e . A matéria envolvida aqui é Cálculo, mais especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos de interseção das curvas e depois integrar a diferença entre elas nos intervalos certos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se interceptam. Para isso, igualamos as duas equações:
x = y^2 + 1
x = 3 - y
Igualando as duas expressões para y^2 + 1 = 3 - y :

Passo 3

Vamos reorganizar a equação para formar uma equação quadrática:
y^2 + y + 1 - 3 = 0
y^2 + y - 2 = 0
Agora, resolvemos essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 4

Usando a fórmula de Bhaskara para resolver y = -b pm raizb^2 - 4ac 2a :
y = -1 pm raiz1 + 8 2 = -1 pm 32
Onde y = 1 e y = -2 , e :
Portanto, temos duas soluções:

Passo 5

Agora, encontramos os valores correspondentes de x = 3 - 1 = 2 para cada x = 3 - (-2) = 5 :
Para :
Para :
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 6

Vamos identificar qual curva está acima da outra no intervalo de integração. Observando as equações:
x = y^2 + 1 (parábola) á
x = 3 - y (reta)
Para determinar qual está à direita (maior x = 0^2 + 1 = 1 ), vamos comparar os valores:
Para x = 3 - 0 = 3 :
Então, a reta está à direita da parábola nesse intervalo.

Passo 7

A área entre as curvas pode ser calculada integrando a diferença entre as funções de A = integraly-2^y1 ( xreta - xparábola ) dy = integral-2^1 ( (3 - y) - (y^2 + 1) ) dy da reta e da parábola em relação a , já que as funções estão expressas em termos de .
A fórmula para a área é:
á

Passo 8

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(3 - y) - (y^2 + 1) = 3 - y - y^2 -1 = -y^2 - y + 2
Então, a integral fica:
A = integral-2^1 (-y^2 - y + 2) dy

Passo 9

Agora, vamos integrar termo a termo:
integral (-y^2) dy = -y^33
integral (-y) dy = -y^22
integral 2 dy = 2y
Portanto:
A = [ -y^33 - y^22 + 2y ]-2^1

Passo 10

Vamos calcular os valores nos limites de integração:
Para -1^33 - 1^22 + 2(1) = -13 - 12 + 2 = -26 - 36 + 126 = 76 :
-(-2)^33 - (-2)^22 + 2(-2) = --83 - 42 -4 = 83 -2 -4 = 83 -6 = -103
Para :

Passo 11

Subtraindo os valores:
A = 76 - ( -103 ) = 76 + 103 = 76 + 206 = 276 = 92

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas e é unidades quadradas.

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