Calcule integral 3 x^2+x+4(x-1)(x^2+2 x+5) d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de uma função racional. Aqui o conteúdo principal é integração por frações parciais, e vamos precisar decompor o integrando em somas de termos mais simples para depois integrar cada um.

Passo 2

Para decompor, escrevemos
3x^2+x+4(x-1)(x^2+2x+5)=Ax-1+Bx+Cx^2+2x+5
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x^2+2x+5) e igualando coeficientes, obtemos o sistema:
A+B=3, 2A+C-B=1, 5A-C=4
Resolvendo, achamos A=1, B=2, C=1.

Passo 3

Substituindo de volta, o integrando vira
3x^2+x+4(x-1)(x^2+2x+5)=1x-1+2x+1x^2+2x+5

Passo 4

Agora integramos termo a termo:
  • Para integral1x-1,dx usamos que a antiderivada de 1/u é ln|u|, dando ln|x-1|.
  • Para integral2x+1x^2+2x+5,dx, note que a derivada do denominador x^2+2x+5 é 2x+2. Então escrevemos 2x+1x^2+2x+5=2x+2x^2+2x+5-1x^2+2x+5 A primeira parte integra para ln(x^2+2x+5). Na segunda, completamos o quadrado no denominador: x^2+2x+5=(x+1)^2+2^2, e usamos a fórmula integralduu^2+a^2=1aarctan(u/a), obtendo tfrac12arctanl((x+1)/2r).

Passo 5

Juntando tudo, a antiderivada geral é
ln|x-1|+ln(x^2+2x+5)-tfrac12arctanl(x+12r)+C

Resposta

ln|x-1|+ln(x^2+2x+5)-tfrac12arctanl(tfracx+12r)+C

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