A fim de que o número real a seja valor de aderência de (xn) é necessário e suficiente que, para todo varepsilon>0 e todo k in N dados, exista n>k tal que |xn-a|.

Passo 1

Primeiro, vamos relembrar o que é valor de aderência: trata-se de um ponto ao qual alguma subsequência converge. Mais precisamente, dizemos que a é valor de aderência de (xn) se existe uma subsequência (xnj) tal que xnjto a.

Passo 2

Vamos mostrar primeiro a condição necessária: suponha que a seja valor de aderência, ou seja, existe uma subsequência (xnj) com xnjto a. Dado um varepsilon>0 e um índice k, pelo fato de xnjto a existe J tal que para todo j>= J vale
|xnj-a|
Além disso, como njto+infty, podemos escolher j>= J tal que nj>k. Basta então tomar n=nj para garantir |xn-a| e n>k.

Passo 3

Agora a condição suficiente: suponha que para todo varepsilon>0 e todo kinN exista n>k com |xn-a|. Vamos construir uma subsequência convergente a a.
Definimos recursivamente:
  • Escolha n1>0 tal que |xn1-a|<1.
  • Tendo definido nm, use a hipótese com varepsilon=1/(m+1) e k=nm para obter nm+1>nm tal que
|xnm+1-a|<1m+1
Assim obtemos uma subsequência (xnm) e
|xnm-a|<1m
para todo m. Como 1/mto0, segue que xnmto a. Logo a é valor de aderência.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a existência da subsequência convergente a a é equivalente à condição “para todo varepsilon>0 e todo k existe n>k com |xn-a|”.

Resposta

As duas condições são equivalentes: a é valor de aderência de (xn) se, e somente se, para todo varepsilon>0 e todo kinN existe n>k tal que |xn-a|.

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