A fim de que o número real
seja valor de aderência de
é necessário e suficiente que, para todo
e todo
dados, exista
tal que
.
Passo 1
Primeiro, vamos relembrar o que é valor de aderência: trata-se de um ponto ao qual alguma subsequência converge. Mais precisamente, dizemos que
é valor de aderência de
se existe uma subsequência
tal que
.
Passo 2
Vamos mostrar primeiro a condição necessária: suponha que
seja valor de aderência, ou seja, existe uma subsequência
com
. Dado um
e um índice
, pelo fato de
existe
tal que para todo
vale
Além disso, como
, podemos escolher
tal que
. Basta então tomar
para garantir
e
.
Passo 3
Agora a condição suficiente: suponha que para todo
e todo
exista
com
. Vamos construir uma subsequência convergente a
.
Definimos recursivamente:
Definimos recursivamente:
- Escolha
tal que . - Tendo definido
, use a hipótese com e para obter tal que
Assim obtemos uma subsequência
e
para todo
. Como
, segue que
. Logo
é valor de aderência.
Passo 4
Concluímos, portanto, que a existência da subsequência convergente a
é equivalente à condição “para todo
e todo
existe
com
”.
Resposta
As duas condições são equivalentes:
é valor de aderência de
se, e somente se, para todo
e todo
existe
tal que
.