Dadas as seqüências (xn) e (yn), defina (zn) pondo z2 n-1=xn e z2 n=yn. Se lim xn=lim yn=a, prove que lim zn=a.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três sequências: (xn), (yn) e (zn). A sequência (zn) é formada intercalando os termos das sequências (xn) e (yn), ou seja, z2n-1 = xn e z2n = yn. A matéria aqui é Limites de Sequências. Vamos precisar entender o conceito de limite de uma sequência e como os limites se comportam quando intercalamos duas sequências que têm o mesmo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma sequência. Dizemos que limn to infty xn = a se, para qualquer número pequeno epsilon > 0, existe um número natural N tal que, para todo n > N, |xn - a| < epsilon. Ou seja, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de a.

Passo 3

Agora, sabemos que limn to infty xn = a e limn to infty yn = a. Isso significa que, tanto os termos de (xn) quanto os de (yn) se aproximam de a quando n cresce.

Passo 4

Vamos analisar a sequência (zn). Como ela é formada intercalando (xn) e (yn), cada termo de (zn) é ou um termo de (xn) ou de (yn). Portanto, se escolhemos qualquer termo zk de (zn), ele será igual a xm ou ym para algum m.

Passo 5

Como ambos (xn) e (yn) convergem para a, para qualquer epsilon > 0, existe um N tal que para todo m > N, |xm - a| < epsilon e |ym - a| < epsilon. Isso significa que, independentemente se zk é xm ou ym, ele estará a menos de epsilon de a, desde que m > N.

Passo 6

Como zk = xm ou zk = ym e ambos estão próximos de a quando m > N, concluímos que (zn) também se aproxima de a. Ou seja, para qualquer epsilon > 0, existe um N tal que para todo k > 2N, |zk - a| < epsilon.

Resposta

Portanto, limn to infty zn = a.

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