Dadas as seqüências
e
, defina
pondo
. Se
, prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre três sequências:
,
e
. A sequência
é formada intercalando os termos das sequências
e
, ou seja,
e
. A matéria aqui é Limites de Sequências. Vamos precisar entender o conceito de limite de uma sequência e como os limites se comportam quando intercalamos duas sequências que têm o mesmo limite.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa o limite de uma sequência. Dizemos que
se, para qualquer número pequeno
, existe um número natural
tal que, para todo
,
. Ou seja, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
.
Passo 3
Agora, sabemos que
e
. Isso significa que, tanto os termos de
quanto os de
se aproximam de
quando
cresce.
Passo 4
Vamos analisar a sequência
. Como ela é formada intercalando
e
, cada termo de
é ou um termo de
ou de
. Portanto, se escolhemos qualquer termo
de
, ele será igual a
ou
para algum
.
Passo 5
Como ambos
e
convergem para
, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
e
. Isso significa que, independentemente se
é
ou
, ele estará a menos de
de
, desde que
.
Passo 6
Como
ou
e ambos estão próximos de
quando
, concluímos que
também se aproxima de
. Ou seja, para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
.
Resposta
Portanto,
.