Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a)
e
; (b)
; © a soma da série, se for convergente.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as somas parciais
,
,
, a soma geral
e a soma da série infinita, se ela for convergente. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e o uso de frações parciais para simplificar termos. Para resolver, vamos precisar entender como decompôr frações em partes mais simples e identificar padrões que facilitem a soma das parcelas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que estamos lidando:
Para facilitar a soma, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a expressão como a diferença de duas frações mais simples.
Passo 3
Vamos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Agora, precisamos encontrar os valores de
e
que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Expandindo a equação:
Como a equação deve ser válida para todos os valores de
, os coeficientes de
e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados. Comparando os coeficientes:
Para
:
Para o termo constante:
Agora, resolvemos esse sistema de equações.
Passo 5
Da primeira equação, sabemos que
. Substituindo na segunda equação:
Então,
. Portanto, a fração original pode ser escrita como:
Passo 6
Agora, podemos reescrever a série original usando a decomposição encontrada:
Observando os primeiros termos, percebemos que há um padrão de cancelamento (telescópico):
Cada termo positivo cancela com o termo negativo seguinte, restando apenas o primeiro termo negativo e o último termo positivo à medida que a série avança.
Passo 7
Para encontrar a soma das
primeiras parcelas (
), observamos que:
Após cancelamentos, sobra:
Passo 8
Para encontrar a soma da série infinita, avaliamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Portanto, a série converge para
.
Resposta
(a) As somas parciais são:
(b) A soma geral das
primeiras parcelas é:
© A soma da série, quando
tende ao infinito, é: