Exercs. 1-6: Use o método do Exemplo 1 para achar (a) S1, S2 e S3; (b) Sn; © a soma da série, se for convergente.
sumn=1^infty-2(2 n+5)(2 n+3)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar as somas parciais S1, S2, S3, a soma geral Sn e a soma da série infinita, se ela for convergente. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e o uso de frações parciais para simplificar termos. Para resolver, vamos precisar entender como decompôr frações em partes mais simples e identificar padrões que facilitem a soma das parcelas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que estamos lidando:
sumn=1^infty -2(2n+5)(2n+3)
Para facilitar a soma, vamos decompor a fração em frações parciais. Isso significa escrever a expressão como a diferença de duas frações mais simples.

Passo 3

Vamos encontrar constantes A e B tais que:
-2(2n+5)(2n+3) = A2n+3 + B2n+5
Multiplicando ambos os lados por (2n+5)(2n+3) para eliminar os denominadores:
-2 = A(2n+5) + B(2n+3)
Agora, precisamos encontrar os valores de A e B que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Expandindo a equação:
-2 = A cdot 2n + A cdot 5 + B cdot 2n + B cdot 3
-2 = (2A + 2B)n + (5A + 3B)
Como a equação deve ser válida para todos os valores de n, os coeficientes de n e os termos constantes devem ser iguais em ambos os lados. Comparando os coeficientes:
Para n:
2A + 2B = 0 Rightarrow A + B = 0
Para o termo constante:
5A + 3B = -2
Agora, resolvemos esse sistema de equações.

Passo 5

Da primeira equação, sabemos que A = -B. Substituindo na segunda equação:
5(-B) + 3B = -2
-5B + 3B = -2
-2B = -2 Rightarrow B = 1
Então, A = -1. Portanto, a fração original pode ser escrita como:
-2(2n+5)(2n+3) = -12n+3 + 12n+5

Passo 6

Agora, podemos reescrever a série original usando a decomposição encontrada:
sumn=1^infty ( -12n+3 + 12n+5 )
Observando os primeiros termos, percebemos que há um padrão de cancelamento (telescópico):
( -15 + 17 ) + ( -17 + 19 ) + ( -19 + 111 ) + dots
Cada termo positivo cancela com o termo negativo seguinte, restando apenas o primeiro termo negativo e o último termo positivo à medida que a série avança.

Passo 7

Para encontrar a soma das n primeiras parcelas ( Sn), observamos que:
Sn = -15 + 17 + -17 + 19 + dots + 12n+5
Após cancelamentos, sobra:
Sn = -15 + 12n+5

Passo 8

Para encontrar a soma da série infinita, avaliamos o limite de Sn quando n tende ao infinito:
limn to infty Sn = limn to infty ( -15 + 12n+5 ) = -15 + 0 = -15
Portanto, a série converge para -15.

Resposta

(a) As somas parciais são:
S1 = -15 + 17
S2 = -15 + 17 - 17 + 19
S3 = -15 + 17 - 17 + 19 - 19 + 111
(b) A soma geral das n primeiras parcelas é:
Sn = -15 + 12n+5
© A soma da série, quando n tende ao infinito, é:
sumn=1^infty -2(2n+5)(2n+3) = -15

Exercícios relacionados