Calcule a integral integral x^3raizx^4+1 d x.

Passo 1

A questão pede para calcular integral x^3raizx^4+1,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, pois o denominador envolve uma composição de funções ( x^4+1) cuja derivada aparece no numerador.

Passo 2

Vamos usar a substituição u = x^4 + 1. Dessa forma, derivando ambos os lados em relação a x, temos du = 4x^3,dx, ou seja x^3,dx = 14,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, obtemos:
integral x^3raizx^4+1,dx = integral 1raizu cdot 14,du = 14 integral u^-tfrac12,du

Passo 4

Agora é só integrar u^-1/2. Sabendo que integral u^alpha,du = u^alpha+1alpha+1 (para alpha neq -1), com alpha = -tfrac12 temos:
14 integral u^-tfrac12,du = 14 cdot u^1/21/2 + C = 14 cdot 2,u^1/2 + C = 12 u^1/2 + C

Passo 5

Por fim, voltamos à variável x usando u = x^4 + 1. Assim, a integral fica em termos de x.

Resposta

12raizx^4+1+C

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