Escrevendo cada fator individual do lado esquerdo em forma exponencial, efetuando as operações indicadas e, finalmente, convertendo para coordenadas retangulares, mostre que
5 i /(2+i)=1+2 i;

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para mostrar que 5i2+i = 1 + 2i. Para isso, vamos trabalhar com números complexos, que são aqueles que têm uma parte real e uma imaginária. Vamos precisar usar álgebra de números complexos e operações com frações envolvendo complexos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 5i2+i. Para isso, vamos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado de 2 + i é 2 - i.
5i2+i times 2-i2-i = 5i(2 - i)(2 + i)(2 - i)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar os numeradores e os denominadores:
No numerador:
5i times 2 = 10i
5i times (-i) = -5i^2
Então,
10i - 5i^2
No denominador, usando a diferença de quadrados:
(2 + i)(2 - i) = 2^2 - i^2 = 4 - (-1) = 5

Passo 4

Lembrando que i^2 = -1, vamos substituir:
No numerador:
10i - 5(-1) = 10i + 5
Então, a expressão fica:
10i + 55

Passo 5

Agora, vamos separar a fração:
10i5 + 55 = 2i + 1

Resposta

Portanto, 5i2+i = 1 + 2i.

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