Escrevendo cada fator individual do lado esquerdo em forma exponencial, efetuando as operações indicadas e, finalmente, convertendo para coordenadas retangulares, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que
. Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como forma exponencial e coordenadas retangulares. Vamos precisar converter o número complexo para forma polar (ou exponencial), aplicar a potência, e depois voltar para a forma retangular.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o número complexo
para a forma polar. Na forma polar, um número complexo é representado como
, onde
é o módulo e
é o argumento.
Para encontrar
, usamos:
Agora, para encontrar
, usamos:
Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos aplicar a potência
usando a fórmula de De Moivre, que diz que:
Aplicando isso ao nosso número:
Passo 4
Vamos simplificar os ângulos. Primeiro,
. Como os ângulos são periódicos com período
, podemos adicionar
para ficar dentro de
a
:
Então:
Sabendo que:
Substituímos: