Escrevendo cada fator individual do lado esquerdo em forma exponencial, efetuando as operações indicadas e, finalmente, convertendo para coordenadas retangulares, mostre que
(1+raiz3 i)^-10=2^-11(-1+raiz3 i).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que (1+raiz3 i)^-10 = 2^-11(-1+raiz3 i). Para isso, vamos usar conceitos de números complexos, como forma exponencial e coordenadas retangulares. Vamos precisar converter o número complexo para forma polar (ou exponencial), aplicar a potência, e depois voltar para a forma retangular.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o número complexo 1 + raiz3 i para a forma polar. Na forma polar, um número complexo é representado como r(cos theta + i sin theta), onde r é o módulo e theta é o argumento.
Para encontrar r, usamos:
r = raiz1^2 + (raiz3)^2 = raiz1 + 3 = raiz4 = 2
Agora, para encontrar theta, usamos:
theta = arctan(raiz31) = pi3
Então, podemos escrever:
1 + raiz3 i = 2 (cos pi3 + i sin pi3)

Passo 3

Agora, vamos aplicar a potência -10 usando a fórmula de De Moivre, que diz que:
[r (cos theta + i sin theta)]^n = r^n (cos (ntheta) + i sin (ntheta))
Aplicando isso ao nosso número:
(2 (cos pi3 + i sin pi3))^-10 = 2^-10 (cos (-10 cdot pi3) + i sin (-10 cdot pi3))

Passo 4

Vamos simplificar os ângulos. Primeiro, -10 cdot pi3 = -10pi3. Como os ângulos são periódicos com período 2pi, podemos adicionar 4pi para ficar dentro de 0 a 2pi:
-10pi3 + 4pi = -10pi3 + 12pi3 = 2pi3
Então:
2^-10 (cos 2pi3 + i sin 2pi3)
Sabendo que:
cos 2pi3 = -12 e sin 2pi3 = raiz32
Substituímos:
2^-10 (-12 + i raiz32) = 2^-10 cdot 12 (-1 + raiz3i) = 2^-11(-1 + raiz3 i)

Resposta

(1+raiz3 i)^-10 = 2^-11(-1+raiz3 i)

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