Calcule os limites aplicando os limites fundamentais:
lim x infty(x1+x)^x cdot 1e

Passo 1

O enunciado pede para a gente calcular o limite limxtoinfty l(tfracx1+xr)^x cdot tfrac1e. É um problema de limites exponenciais; vamos usar limites fundamentais (em especial limxtoinfty(1+1/x)^x = e) e transformações logarítmicas.

Passo 2

Primeiro reescrevemos a base de forma mais conveniente: xx+1=11+1/x,então
l(tfracxx+1r)^x=(1+1/x)^-x,e toda a expressão vira

Para capturar o comportamento exato, definimos (1+1/x)^-xcdot1e e usamos o logaritmo:
A=(1+1/x)^-x

Passo 3

Como ln(1+u)=u-tfracu^22+O(u^3) para u=1/x,
ln A=-xl(tfrac1x-tfrac12x^2+O(1/x^3)r)=-1+tfrac12x+O(1/x^2)

Passo 4

Logo
A=e^-1,e^1/(2x)+O(1/x^2),e assim
l(tfracxx+1r)^xcdot1e=e^-1e^1/(2x)+O(1/x^2)cdot1e=e^-2,e^1/(2x)+O(1/x^2)

Passo 5

Quando xtoinfty, a parte e^1/(2x)+O(1/x^2) tende a 1, de modo que o limite é e^-2.

Resposta

e^-2

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